实二次型的半正定性及应用

讨论了实二次型的半正定性,介绍了其在证明不等式中的应用。尤其是证明一般的初等不等式,对如何用高等数学方法解决初等数学问题作了一点尝试。

实二次型的一个应用

推广了实二次型的一个重要结论,证明了:设f(x1,x2,…,xn)=xTAx,x∈Rn是实二次型,若存在α,β∈Rn,使f(α)f(β)<0,则Rn中存在一组基α1,α2,…,αn,满足Rn=ni=1L(αi),L(αi)是αi生成的子空间,i=1,2,…,n,且任意x∈∪nL(αi),f(x)=0,并举例加以说明。

实二次型正定性的一个判定定理的另一种证明

给出下列定理的另一种证明:一个实二次型是正定的,当且仅当它的矩阵的一切顺序主子式全大于零。

实二次型正定性的一个判定定理的又一种证明

给出下列定理的又一种证明:一个实二次型是正定的当且仅当它的矩阵的一切顺序主子式全大于零。

关于表数相同的实二次型α(3x^2+7y^2)+βz2

证明了所有形如α(3x2+7y2)+βz2,0<2α≤β的实二次型在整数环上等价的充分必要条件是:对变元的整数值,表数相同.

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形

本文介绍了一种用正交变换化实二次型为标准的新方法。

线性约束下实二次型有定或不定性的一个判别算法

针对经济学中较为常见的判别线性约束下实二次型的正定性问题，研究了实对称矩阵的有关性质，提出了一个判别一般实对称矩阵是（半）正定、（半）负定或不定矩阵的有效而实用的算法，较好地解决了带线性约束与无约束的实二次型有定或不定性的判别问题．所述算法具有计算量小，数值计算稳定，易于编程实现等优点．最后给出了计算实例．

化实二次型为标准型的一种新方法

二次型是高等代数的重要内容之一,基于函数与其偏导数的关系这一原理,依据配方法,提出了一种将二次型化为标准型的方法,并通过例子说明该方法的有效性。

实二次型的顺序主子式与惯性指数

在非零顺序主子式的最高阶数与实二次型秩相等的前提下,研究如何利用实二次型的顺序主子式序列来确定二次型所有可能的类型.给出Gundelfinger法则和Frobenius法则的简单证明.

实二次型化成标准形的几种方法

二次型是线性代数中一个很重要的知识点。结合自己的教学实践与体会,总结出三种将实二次型化成标准形的方法。

关于实二次型 a(X^2+3y^2)+bz^2表数相同的问题

本文证明了形如a(x^2+3y^2)+bz^2(0<3a≤b)的实二次型在整数环上等价的充分必要条件为:对变元的整数值,表数相同。

用初等变换法判断实二次型的类型

引入初等合同变换,将实对称矩阵化为对角矩阵,得到实二次型的一个标准形,从而可以用初等合同变换来判断实二次型的类型。同时也给出了正(负)定二次型的一个必要条件和不定二次型的一个充分条件。该方法易于理解,简单实用,计算量小。

三元实二次型的一因式分解问题

在高等代数中应用实二次型理论对一个实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积的充要条件作了研究,由于涉及到求秩和符号差,应用起来太麻烦。结合三元实二次型的特征,寻找到三元实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积的一个初等方法。

实二次型的一个分析充要条件

本文以二次型问题为例探讨了二次型的一般类型,以及相应的一个分析充要条件及其证明。

一类含参数的实二次型

讨论一类含参数λ的n（≥2）元实二次型∑n i=1∑n j=1（λij＋i＋j）xixj,证明其秩等于2，正、负惯性指标都等于1，符号差等于O，均与参数λ无关，从而证明这类二次型是不定的．

关于表数相同的实二次型α（2x￣2＋3y￣2）＋βz￣2

证明了所有与形如α（２ｘ＾２＋３ｙ＾２）＋βｚ＾２，０〈２ａ≤β的型整等价的实系数三元恒正二次型中，无表数相同而互不等价者。

实二次型定性的特征根刻划

本文通过简洁数学推导表明,可以用特征根对实二次型的定性进行分类。

对“实二次型的标准形”问题的教学思考

从实二次型的基本问题出发,分析了目前高等代数及线性代数教材对该问题的处理现状,进一步结合教学实践,从内容、方法等方面提出关于实二次型的标准形教学的一些思考。

关于实二次型3x^2＋5y^2＋bz^2表数相同的问题

本文证明了形如３ｘ２＋５ｙ２＋ｂｚ２（ｂ＞１）的实二次型在整数环上等价的充分必要条件为：对变元的整数值．表数相同。

用改进的合同变换法求实二次型的标准型

求实二次型的标准型的问题是线性代数中的实二次型理论部分的重要内容 。