一道“希望杯”试题的解答与推广(高一)

每届“希望杯”赛总有不少适合中学生实际,又能锻炼中学生能力,激发中学生研究兴趣的好题.下面即是一例.

一道希望杯试题探源与拓展

希望杯数学竞赛特点之一就是试题紧紧贴近课本,源于课本,又高于课本,试题活而不难,巧而不偏,既大众化又富于思考启发,因此每当我们翻阅和学习历届希望杯赛题时,总会产生一些新的感触.下面就是从一道希望杯赛题,结合新教材内容的一些思考,奉给读者,以共同提高.

一道希望杯2试题的多种解法(初三)

第27届希望杯数学竞赛初三第2试有一道平面几何的综合题，标准答案通过添辅助线作全等三角形得出了等量关系，在计算中应用了余弦定理，算出三角形的边长．这里将向大家介绍解第（2）、（3）小题的另外几种解法．

对一道“希望杯”培训题的多视角思考

解三角形问题是历年高考命题的热点之一,主要有两种题型:一是与三角函数相结合,通过三角恒等变换进行化简求值,然后利用正、余弦定理解题;二是与平面向量相结合,利用平面向量的有关运算判断三角形的形状或结合正、余弦定理求值.一般地,解三角形问题的综合性较强,解法较为多样,应引起我们足够的重视.第27届“希望杯”高二培训题中有一道与解三角形有关的问题,命题者利用余弦定理给出了此题的一种解答,笔者通过多视角研究,得出不同于参考答案的5种方法作为补充,整理如下,供大家参考.

数形结合巧解“希望杯”赛题

数形结合是中学数学的重要思想方法，解竞赛题尤其能起到出奇制胜的作用．

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目：已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2=b2的最小值是___ （第二十一届“希望杯”高二第2试） 本文从二个角度对问题进行研究，先对问题作一题多解，然后对问题作多方面变式，供大家参考．

一道“希望杯”培训题的解法(初一)

题目 如图1，四边形ABCD是一个长方形，EF//AD，GH／／AB，EF和GH相交于点O，长方形OHCF的面积比长方形AEOG大6cm2．则阴影三角形OBD的面积是多少？

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目已知z，y，z∈R^＋，且x＋2y＋3z=1，1/x＋2/y＋3/z的最小值是__．

第25届“希望杯”高二二试第21题解法探究

分析该题求参数的取值范围，此类问题可以通过变量分离，转化成函数的最值问题，而求最值的常用方法有运用一元二次函数、导数、基本不等式、三角函数的有界性、某些特殊函数的性质等．

一道希望杯试题的错解分析与解法探究

题目已知椭圆：x2/4＋y2/3=1上的任意一点P（x，y），可使x＋2y＋m≥0恒成立，则m取值范围是（ ）（A）（-∞，-4]．（B）[-4，＋∞）．（C）（-∞，4]．（D）[4，＋∞）．

“希望杯”中的创新题8则(高一)

1.对于函数f(x)与g(x),规定:当f(x)≤g(x)时,f(x)※g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)※g(x)=g(x).已知f(x)=3-x,g(x)=(2x+5)(1/2),求f(x)※g(x)的最大值. (第8届97年高一2试) 2.在xoy平面内。

一道“希望杯”试题的解法探究(初一)

题目如图1，在矩形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，S△ABE=2，S△ECF=7，S△FDA=8，则△AEF的面积为（ ）（A）15．（B）14．（C）13．（D）12．

一道“希望杯”赛题的解法赏析

下面仅就初二年级同学所学几何知识的范围，探究此题的几种解法，供读者赏析．

加强赛题研究 领悟赛题内涵——赏析经久不衰的“希望杯”竞赛热点:分段函数

分段函数是一类重要的函数，它能有效地考查函数的概念、符号及性质，体现了分类讨论、数形结合等思想方法，对优化学生的思维品质十分有益，是各级各类竞赛的重要内容．在“希望杯”高中数学竞赛走过的十七载春秋中，涌现出了许多优美、新颖、多姿多彩的分段函数题，现将其分类提出与读者共同赏析．

一道希望杯考题的几何背景及解法探究

题目 方程 √x2-2√5x＋9＋√x2＋2√5x＋9=10的解是x=____.

评析一道希望杯赛题

题目O是椭圆中心，A1、A2分别是椭圆左右顶点，B1、B2分别是椭圆上下顶点，F1、F2分别是椭圆左右焦点，B2F2的延长线交B1A2于点P，若∠B2PA2是钝角，求椭圆离心率e的取值范围．（第二十五届希望杯高二1试）

从一道“希望杯”赛题引出的一个圆锥曲线性质

题目 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两条渐近线的斜率之积为-3，左、右两支上分别有动点A和B．（1）若经过点D（0，5a）的直线AB的斜率为1，且→AD＝λ→DB，求实数λ的值；（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB、MB分别与x轴交于点P、Q，O为坐标原点．证明：OP·OQ=a^2。

不等式的两个性质在“希望杯”赛题中的应用

在数学竞赛中，常会遇到求最大值、最小值和不等式的证明问题，这类问题解法灵活，构思新颖，有时会感到难以下手。本文介绍不等式的两个性质，谈谈在这方面的应用，希望对同学们有所帮助。

“希望杯”中的整数解问题(初一、初二、初三)

在04年的“希望杯”全国数学邀请赛中,出现了许多涉及整数解的竞赛题.其中,题目的命题方式新颖,涉及面宽、范围广,需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧才能解决,令人耳目一新,对培养参赛学生高层次的数学思维十分有益.下面以04年“希望杯”试题为例,归纳一下求解这类问题的思想方法.

3.用arcsinz＋arccosx=π／2解“希望杯”赛题（高一、高二、高三）

arcsinx与arccosx常出现在各类反三角函数问题中，若能抓住它们之间的关系：arcsinx+arccosx=π/2（|x|≤1）,问题就能迎刃而解，请看几例．