第二课堂助力常微分方程教学的实践研究

第二课堂是课堂教学的有效拓展.常微分方程课程在教学中存在内容抽象和教学用时不足等问题.开展常微分方程第二课堂有利于拓展教学时间和空间,利用数学实验进行数学求解与数学建模.通过实践发现,常微分第二课堂有利于激发学生的数学思维、数学兴趣和合作能力等.在实践中要注重问题创设、实验条件优化和实验辅助支持等,保证常微分方程第二课堂的顺利实施.

常微分方程在数学建模中的应用

常微分方程实质上是一种工具,用于描绘和阐述事物的演变过程,甚至可以透过模型来揭示真实世界中的动态联系。构建常微分方程模型,不仅能有力地辅助我们对相关问题做出适当的评估和决定,同时也能为我们未来的发展路径做出独特的预见。一个重要的方法,即利用常微分方程来处理实际问题,这就需要我们构建一个用于处理实际问题的数学模型--常微分方程模型。依照现实问题所需的条件,我们设定了模型的各项参数,然后运用现代物理、化学、生物、经济等多领域的知识,通过常微分方程的不同表达方式,对问题的起因和规则进行了阐述。现代数学建模教育课程中,常微分方程模型扮演着关键的角色。因此,本篇文章首先探讨常微分方程的进步情况,接着详细阐述常微分方程模型,最终通过几个实际案例,阐述常微分方程在数学建模中的运用。

融合时序关联动态图与常微分方程的区域间出租车需求预测

为解决出租车行业中的高空驶率和不均衡的需求分布问题,通过对出租车出行的区域进行深入研究,提出了一个融合时序关联动态图与常微分方程的需求预测模型TCG-ODE(temporal correlation graphs-ordinary differential equations)。首先,模型使用ODE(ordinary differential equation)对图卷积神经网络(graph convolutional network,GCN)进行微分方程建模,将堆叠局部特征信息抽象为动态图,以节点的时序特性来推进局部节点状态;然后,设计了一种基于注意力分数调整采样策略的蒸馏方案,提高对多层稀疏图的适应效果,以更稳定地表征复杂时空特征,最终实现对区域间出租车需求量的预测。在真实的出租车订单数据集上进行实验,研究结果表明,TCG-ODE模型的预测效果均优于对照模型和改进前的模型。通过精准预测不同区域之间的出租车需求量,可以为出租车司机和乘客出行提供决策支持信息,从而优化供需关系。

基于扩散常微分方程的医学图像异常检测

为了识别与正常生理状态显著偏离的异常医学图像,基于异常图像相关特征往往分布于特征空间低密度区域的假设,提出了一种神经网络辅助的基于扩散常微分方程(Ordinary differential equations,ODE)的医学图像异常检测方法。该方法首先利用扩散ODE估计图像特征的似然值;然后构建神经网络,拟合图像特征在不同时刻由扩散ODE估计的似然值;最后通过扩散ODE估计的似然值和神经网络估计的似然值的加权平均得到异常分数,异常分数较大的图像被认定为异常图像。此外,为了确定异常图像的异常区域,提出了一种基于图像重构的异常定位方法,通过计算重构误差来定位异常区域。在BraTS2021脑肿瘤数据集和X射线胸透数据集上进行数值实验,结果表明该异常检测方法的异常检测性能大幅优于现有方法,且具有较好的鲁棒性。该研究提出的无监督医学图像异常检测方法和异常区域定位方法可为临床诊疗提供丰富的信息支持,有望减轻医生的工作量。

一阶常微分方程的知识图谱

一阶常微分方程的方程类型较多,解法不一.在学习的过程中会因为方程类型的判断不准确,导致学习困难.本文通过构造一阶常微分方程的知识图谱,将繁杂的知识进行关联与梳理,呈现常见一阶常微分方程的方程类型和解法之间的相互关系,并以实例进行说明.构建微分方程的知识图谱可以对微分方程中的概念、方法和技巧等进行全面和系统地整合,呈现出方程之间的内在联系和逻辑关系,可以培养学生的逻辑思维能力,帮助学生更加深入和全面地学习微分方程的知识,提高学习效果.

求解常微分方程初值问题的改进梯形公式

首先,利用改进欧拉公式得到的三个点构造圆,并通过几何关系算出对应的三角形、扇形,以及弓形面积.其次,根据被积函数的凹凸性对梯形面积进行加减相应几何图形面积,从而得到三阶精度的改进梯形公式.最后,给出了该格式的误差和稳定性分析.与改进欧拉格式和梯形公式比较的数值结果表明本文格式有效地减小了梯形公式的数值误差,提高了计算精度,展现出更好的有效性和优越性.

常微分方程课程对思政教育的影响与作用

本文旨在探讨常微分方程课程对学生思政教育的影响与作用,并从培养抽象思维和逻辑思维能力、问题解决能力和科学精神、团队合作和交流能力,以及社会责任感和人文关怀等方面进行论述。通过深入研究常微分方程课程与思政教育的融合,更好地理解如何通过学科教育来培养学生的思想道德和社会责任感,使他们成为具有综合素养和创新能力的社会栋梁,实现思政教育与学科教育的有机结合。

一类常微分方程的反问题

研究一类常微分方程的反问题:任给函数组,求以函数组为解的常微分方程.应用待定系数法,在不同条件下,构造了两种以函数组为解的常微分方程,包括高阶非齐次线性微分方程和一阶非线性微分方程,最后通过实例对构造方法进行应用.

BOPPPS新模式下医学专业“高等数学”教学设计——以常微分方程为例

职业教育“课堂革命”作为高质量发展意见的重要内容,是提升人才培养质量的关键举措。基于BOPPPS教学新模式,从教学内容、教学评价、教学方法等方面进行改革。设计与医学专业课相关、能体现高等数学知识在专业中应用的教学案例,培养学生将不同学科知识融会贯通的能力,匹配专业教学需求,并通过分析实验班和对照班的单元测试成绩以及可量化的多维度评价,展示该新模式的合理性和优越性。

基于OBE模式下的常微分方程教学探究

本文基于成果导向教育(OBE)模式,对常微分方程教学进行了深入探究。通过分析当前常微分方程教学中存在的问题,提出了针对性的改进措施,包括明确学习目标和学习成果、设计合理的教学内容和教学方法、强化实践教学环节以及建立多元化的考核和评价机制等。通过实施这一系列精心设计的措施,旨在显著提升常微分方程课程的教学质量,进而优化学生的学习成效。目标不仅在于传授理论知识,更在于培养学生的实践应用能力和创新思维,以期他们能够更好地满足社会对高素质人才的需求,推动学科的发展和社会的进步。

常微分方程中的生物数学模型及其在教学中的应用

常微分方程作为数学课程中的一门重要基础课程,在提高学生综合素质方面具有举足轻重的作用。文章基于以学生为中心的教学理念和金课“两性一度”的建设要求,针对传统常微分方程教学中存在的问题,以两种群Lotka-Volterra生态模型和人口预测模型为研究对象,探索了生物数学模型在教学中的具体应用,旨在帮助学生更好地掌握该课程的基础理论,激发学生对该课程的学习兴趣,提高学习效率,并培养学生解决问题的能力。

基于学习通与小班个性化模式常微分方程的教学实践

常微分方程是本科阶段数学专业学生的一门必修课程,被广泛应用于物理、化学、生物、医学等方面,渗透于生活的方方面面。因此学好常微分方程显得尤为重要。将学习通平台与小班化教学相结合的教学模式运用到常微分方程的教学中,充分利用“超星学习通”这一平台,为小班中的每个学生定制个人错题本,针对其易错点,进行“培优补弱”,二者的结合能带来更好的教学效果。

常微分方程的数值求解与方法

针对各种微分方程数值求解的方法,如有限差分法、有限元法等方法,在求解微分方程时存在计算存储量、计算时间等都随着微分方程维数的增加而剧烈增长的问题,严重制约了高维问题的求解。神经网络因其能够无限逼近任意非线性函数的特性,为求解微分方程提供了一种新的思路。通过神经网络训练,得到微分方程的近似解是连续函数,且具有足够的精度,因此可以得到解的任意阶导数。该方法的优势在于当问题维数增大时,计算量和存储量增加相对较小,可以克服维数灾难求解高维问题;同时,具有良好的泛化性和求解复杂区域问题的能力。提出一种求解微分方程的神经网络方法,即通过物理约束耦合神经网络的方法。通过数值算例说明,神经网络方法在求解微分方程问题上有高效率、很好的泛化等优点,能够保证优化算法的收敛性,且近似解具有足够的精度,为微分方程求解提供了一种有效的途径。

求解常微分方程的两类零化神经网络

设计了两类求解常微分方程的零化神经网络.把常微分方程重写为向量值不确定误差函数,将向量值不确定误差函数代入零化神经网络设计公式中,提出了一类求解常微分方程的连续时间零化神经网络,其指数收敛于零.针对潜在的数字硬件实现,通过对连续时间零化神经网络进行离散化,设计了一类离散时间零化神经网络,给出了充要条件来保证离散时间神经网络生成的序列以截断误差为O(τ^(2))(τ>0表示采样周期)收敛到零.通过两个数值实验验证了连续时间零化神经网络和离散时间零化神经网络的有效性.

课程思政背景下常微分方程课程教学研究

常微分方程是理论联系实际最广泛的课程之一,而且它有丰富的思政元素。该文首先论述常微分方程课程思政的必要性,其次给出课程思政的实现途径,最后结合极限环知识点、数学建模竞赛和新冠感染疫情防控3个热点问题给出具体实施案例。该文通过对课程思政在常微分课程中的融入研究,期望能够为国家培养更多德才兼备之人。

一类非线性常微分方程参数估计

针对带有交叉项的非线性常微分方程参数估计问题,利用两阶段方法,首先将最小二乘法和样条展开相结合得到基函数展开的估计,为了提高估计效率,文中提出的方法中采用了积分估计,得到了估计基函数展开的积分;其次将积分结果代入Group LASSO模型,得到参数估计值;最后进行数值模拟。结果表明,文中提出的方法在处理非线性常微分方程参数估计问题时效果良好。

常微分方程教材建设存在问题及解决思路

教材是高校教育教学的基本依据,是解决培养什么人、怎样培养人和为谁培养人这一根本问题的重要载体.结合多年的教学实践,聚焦现代信息技术与教育教学深度融合背景下常微分方程教材建设的几个关键性问题,提出了一系列加强教材建设的策略,旨在为其他高校提供有益的参考,共同推动教育教学的创新与发展.

常微分方程的多区域配置方法

以等距节点为插值节点,构造常微分方程的Lagrange插值逼近算法格式,将常微分方程转化成矩阵方程求解。通过将区域分解的方式提高算法精度,数值实验证明本文所提算法的高精度,此方法可以广泛应用到其他常微分方程的求解中。

常微分方程组初值问题的Lagrange插值逼近方法

常微分方程的快速发展和很多学科有着紧密的关系,随着众多的数学家对其研究的不断加深,极大地推动了现代数学的发展。因此,本文研究拉格朗日插值(Lagrange)逼近方法在常微分方程组初值问题上的应用,推导出Lagrange插值法的逼近算法,求解常微分方程组初值问题的数值解,也就是通过具体的例子,利用Lagrange插值逼近方法构造相对应的数值格式,寻找误差和多项式次数的关系,将结果可视化,最后对相应的误差结果进行分析。数值结果表明Lagrange插值逼近方法具有较高的精度。

本科生《常微分方程》课程教学的体会

《常微分方程》是一门重要的数学专业基础课,文章围绕《常微分方程》课程的教学现状,分析了大学数学课程教学中存在的主要问题,再结合自身的教学实践经历,总结了一些教学心得和感悟,并提出了大学数学课程教学改革的基本思路,以及在教学理念、教学内容、教学形式、教学方法、教学手段和教学评价等方面的改革措施。