广义概率密度演化方程的Chebyshev拟谱法

概率密度演化方法(probability density evolution equation,PDEM)为非线性随机结构的动力响应分析提供了新的途径.通过PDEM获得结构响应概率密度函数(probability density function,PDF)的关键步骤是求解广义概率密度演化方程(generalized probability density evolution equation,GDEE).对于GDEE的求解通常采用有限差分法,然而,由于GDEE是初始条件间断的变系数一阶双曲偏微分方程,通过有限差分法求解GDEE可能会面临网格敏感性问题、数值色散和数值耗散现象.文章从全局逼近的角度出发,基于Chebyshev拟谱法为GDEE构造了全局插值格式,解决了数值色散、数值耗散以及网格敏感性问题.考虑GDEE的系数在每个时间步长均为常数,推导了GDEE在每一个时间步长内时域上的序列矩阵指数解.由于序列矩阵指数解形式上是解析的,从而很好地克服了数值稳定性问题.两个数值算例表明,通过Chebyshev拟谱法结合时域的序列矩阵指数解求解GDEE得到的结果与精确解以及Monte Carlo模拟的结果非常吻合,且数值耗散和数值色散现象几乎可以忽略.此外,拟谱法具有高效的收敛性且序列矩阵指数解不受CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)条件的限制,因此该方法具有良好的数值稳定性和计算效率.

含多维随机变量的广义概率密度演化方程解析解:以Euler-Bernoulli梁为例

广义概率密度演化方程的解析解,不仅具有重要理论价值,而且具有校验数值解、进而标定数值算法误差的作用.以Euler-Bernoulli简支梁为例,推导给出了梁受迫振动时跨中位移响应所对应的广义概率密度演化方程解析解.包括非平稳非高斯随机载荷作用下的解(包含2维随机变量)以及同时考虑载荷随机性和结构参数随机性时的解(分别包含2维、4维和5维随机变量).分析结果表明,真实的概率密度演化是一个十分复杂的过程,远不能用简单的概率分布函数加以描述.这一进展,可为概率密度演化理论的进一步深入研究提供一个方面的基础.

三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解

近年来逐步发展的概率密度演化方法理论为随机动力系统的分析与控制研究提供了新的途径.过去若干年来,已经发展了一系列数值方法如有限差分法、无网格法用于求解广义概率密度演化方程.但是,针对典型随机系统,关于这一方程解析解尚比较缺乏.本文以李群方法为工具,研究给出了Van der Pol振子、Riccati方程和Helmholtz振子3类典型随机非线性系统的广义概率密度演化方程解析解.这些结果,不仅可以作为检验求解广义概率密度演化方程的数值方法结果正确性的判别依据,也为概率密度演化理论的进一步深入研究提供了若干分析实例.

广义概率密度演化方程的相空间重构解法

提出了一种新的相空间重构法(PSRM)用于求解强非线性系统的广义概率密度演化方程,并对若干典型的强非线性随机系统进行了研究,包括SDOF振子、Riccati振子、Van der pol振子和Duffing振子.所得结果验证了PSRM在求解广义密度演化方程(GDEE)时的高效性与精确性.

随机动力系统中的概率密度演化方程及其研究进展

从概率密度演化的基本思想出发,阐述了概率密度演化方程的历史、进展与应用,文中首先剖析和澄清了概率守恒原理的物理意义,论述了概率守恒原理的随机事件描述和状态空间描述,并由此阐明了概率密度演化与系统物理演化的内在联系,即:系统的物理状态演化构成了概率密度演化的内在机制.在此基础上,结合概率守恒原理的两类描述以及系统状态的物理演化方程,以与历史上不同的方式,重新推导了经典概率密度演化方程,包括Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,进一步阐明了这些方程的物理意义,以及它们不能降阶的原因.结合概率守恒原理的随机事件描述和解耦的系统物理方程,导出了广义概率密度演化方程.分析了广义概率密度演化方程的物理意义.以非线性结构随机反应的概率密度演化分析为例,展示了概率密度演化理论的应用前景.最后,指出了需要进一步研究的问题.

非平稳随机激励下高维非线性系统可靠度分析的概率密度全局演化方法

实际工程结构遭受的灾害性动力作用(如强风、地震等)往往具有显著的随机性和非平稳性。对复杂随机激励下高维非线性系统的动力可靠度进行精细化分析,对于实际工程结构的抗灾设计和优化具有重要意义。基于一般连续随机过程的降维概率密度演化方程,给出了一类非平稳随机激励下的高维非线性系统动力可靠度分析方法。具体地,若仅针对系统某一感兴趣物理量在给定安全域下的首次超越问题,则可以构造该物理量在安全域内的吸收边界过程,并建立其瞬时概率密度函数满足的二维偏微分方程,即降维概率密度演化方程。方程中的本征漂移系数是驱动概率密度演化的全局性物理驱动力,可以通过对原系统有限次代表性确定性动力分析获取的数据进行数值构造。采用数值方法求解降维概率密度演化方程,即可获得系统的动力可靠度解答。文中通过两个算例验证了该方法的有效性,并讨论了需要进一步研究的问题。

随机地震动的概率密度演化

利用广义概率密度演化方程,研究了随机地震动加速度时程的时变概率密度分布。利用集集地震实测地震动记录建模,识别给出了Ⅱ类场地随机地震动物理模型的基本参数及其分布。引入空间伸缩变换和Voronoi准则,发展了多维概率空间剖分的实用算法,对比分析了随机地震动模型与真实地震动的概率密度函数。结果表明:随机地震动物理模型可以客观反映真实地震动加速度时程的精细概率结构。

概率密度演化方程TVD格式的自适应时间步长技术及其初值条件改进

随机性普遍存在于实际工程问题中,而复杂结构的非线性随机响应分析是其中的一个难点,近年发展的概率密度演化方法为此类问题的求解提供了新的途径.由于实际问题的复杂性,概率密度演化方程通常采用数值方法求解,因此提高计算效率和求解精度对实际应用具有重要意义.本文基于变网格技术,推导了概率密度演化方程在非均匀时间步长上的总变差减小(total variation diminishing,TVD)差分格式,算例结果表明通过自适应插值可将迭代次数减少为原来的43.4%,当随机过程样本持续时间增大时均值估计的平均误差基本不变,而标准差估计的平均误差不断增大,但增大幅度不断减小;计算耗时随样本持续时间的增大也呈增大趋势,而由于使用了时间步长自适应插值算法导致有些情况下长持时样本的计算耗时反而比短持时样本的计算耗时短;在传统的脉冲函数型初值条件基础上,提出了一种高阶导数更稳定的余弦函数型初值条件形式.结果表明,脉冲函数型的初值条件是余弦函数型初值条件的一个特例,当参数取值适当时,余弦函数型初值条件的数值求解结果具有更高的精度.本文的工作进一步完善了概率密度演化方程的求解方法,为其在实际工程中的应用提供了基础.

随机结构反应的概率密度演化分析

提出了线性随机结构静力反应的概率密度演化方法 .在随机结构反应状态方程的基础上 ,引入扩展状态向量 ,建立了随机结构静力反应的概率密度演化方程 ,提出了数值求解技术 .对于单一随机参数及多个随机参数的 8层框架结构反应进行了算例分析 ,并与单一随机参数结构随机反应的精确解答及多个随机参数结构随机反应的随机模拟分析进行了对比 ,结果表明 。

随机动力系统中的广义密度演化方程

针对一般随机动力系统,考察了概率守恒原理．在考虑随机场与随机过程分解的意义上, 探讨了同时含有初始条件随机性、外部激励随机性和系统参数随机性的随机动力系统中的概率守恒原理．通过与连续介质力学中的Euler系统描述与Lagrange系统描述的比拟,深入讨论了概率守恒原理的状态空间描述与随机事件描述．特别是在随机事件描述的基础上,导出了适用于随机动力系统的广义密度演化方程．在此基础上,发展了密度演化理论的分析方法,使得范围广泛的多维随机动力系统的求解问题迎刃而解．以非线性随机结构的动力响应分析为对象,示例了密度演化理论的实际应用．

随机荷载作用下随机结构线性反应的概率密度演化分析

提出了随机荷载作用下随机结构线性静力反应的概率密度演化方法 .基于力学平衡方程 ,导出了随机荷载作用下随机结构反应的状态方程 ,进而引入扩展状态向量 ,建立了随机荷载作用下的随机结构静力反应的概率密度演化方程 ,讨论了其差分数值求解技术 .进行了八层框架结构在随机荷载作用下的反应的算例分析 .在单一随机参数结构的情况下 ,与随机结构反应的精确解答进行了对比 ;对于多个随机参数结构随机反应 ,则与MonteCarlo分析结果进行了比较 .研究表明 ,本文提出的方法具有很高的精度及良好的实用性 .

广义密度演化方程的δ函数序列解法

随机动力系统响应或状态向量的概率密度函数一般遵循概率密度演化方程,如Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,但是上述方程均属于高维偏微分方程,求解相当困难.基于概率守恒原理的随机事件描述导出的广义密度演化方程,其维数与系统自由度无关,为随机动力系统分析提供了可能的途径.从广义密度演化方程的形式解出发,引入δ函数的渐近序列,获得了广义密度演化方程的一种新的数值解法——广义密度演化方程的δ序列解法.将建议方法与非参数密度估计进行了对比,指出非参数密度估计是该方法的一个特例.最后,分别采用重构实例和演化实例验证了该方法在一维和多维情形下的有效性.

基于广义密度演化方程的结构随机最优控制

基于广义密度演化方程和Pontryagin极大值原理,推导了一般随机激励作用下闭环系统随机最优控制中状态向量和控制力向量的物理解答,讨论了基于二阶统计量评价的控制律参数设计准则。以物理随机地震动模型为输入,考察了单层框架结构主动锚索系统的随机最优控制,并与经典LQG控制做了比较分析。结果表明,本文提出的随机最优控制方法具有适用性和有效性。

基于广义概率密度演化方法的海上风机单桩基础研究进展

开发海上风能资源是我国应对能源短缺和气候变化的有效方案,但海上风机基础造价过高,使海上风电建设受到了较大阻碍。现分析了基于广义概率密度演化方法的海上风机单桩基础的设计难点,介绍了风机基础随机动力特性研究设计的最新进展,指出了我国海上风电开发领域面临的挑战。

不同分布随机参数结构非线性地震反应的概率密度演化

为了准确把握实际工程结构在地震作用下的整体性能,需要合理考虑结构参数的随机性.本文采用概率密度演化理论,结合以广义F-偏差最小化为准则的点集优选策略,实现了含有数十个随机参数的多自由度结构非线性随机反应分析.在此基础上,重点考察了基本随机参数的不同分布类型和不同变异系数对结构非线性反应特性的影响.研究表明,由于结构随机参数不同分布类型的影响,结构反应的二阶矩差异可达±30%;当基本变量变异系数很小和很大时,不同分布类型对二阶矩的影响程度均较大但影响趋势相反,因而存在结构反应二阶矩对不同分布类型不敏感的变异系数值域.随机参数的分布类型对结构反应的概率密度函数影响显著,甚至可能导致定性性质的改变.

滞回结构随机地震反应概率密度演化分析

在工程实际中,要合理地评估复杂结构在地震作用下的整体性能,需要考虑结构参数的随机性。概率密度演化理论可以直接获取随机结构动力反应的概率密度函数及其演化过程。本文以广义F-偏差最小化作为代表点选取准则,采用扩展的Bouc-Wen滞回模型,对具有随机参数的滞回非线性多自由度结构进行了地震动反应概率密度演化分析。结果表明,随机结构的动力反应具有显著且复杂的演化特征,这些特征可以通过概率密度演化理论进行精细化分析。

一类五阶非线性演化方程的广义孤立波解和周期解

应用指数函数法,借助计算机代数系统获得了包括五阶KdV方程、Sawada-Kotera方程和Kaup-Kupershmit方程在内的一类五阶非线性演化方程的广义孤立波解和周期解.结果表明,指数函数法结合符号计算已成为解决数学物理中非线性演化方程的强有力工具.

一类随机微分动力系统的转移概率密度函数的研究

本文探究了一类随机动力系统转移概率密度函数的求解及其有效性问题。首先,提出了一种计算简便、精度较高的数值模拟方法,用于得到FPK (Fokker-Planck-Kolmogorov)方程的近似解。其次,通过比较该近似解与系统的精确解,我们发现此模拟方法的相对误差保持在2 ×10(−3)以内,误差基本在10(−3)以内。最后,通过比较由近似解得到的状态变量出现在某一稳态区域的概率和系统离散后的相图,我们得出此模拟方法可以有效地描述系统的性态。因此,它是求解系统FPK方程的一种有效算法。

产业集群广义创新合作网络演化

综合考虑网络动态演化过程中的偏好依附和区域优先连接性,运用复杂网络研究中的率方程法,从企业的"网络嵌入性"角度出发,推导出了网络度分布的演化方程.分析结果表明,创新合作网络度分布服从幂律分布;随着网络的动态演化,企业间所拥有的资源差异越来越大,这给企业带来了更多的技术机会,有利于新知识的产生和交流;"网络嵌入性"越均衡,越有利于提高集群整体的创新绩效;应鼓励集群内企业间积极开展创新合作,这将有利于优化网络结构,降低创新资源被少数企业所垄断的可能性.

广义变系数KdV方程新的精确解

在截断展开法中,运用新的展开形式,求出广义变系数KdV方程义变系数三种类型新的精确解。由此可见,用这种方法还可以求解一大类变系非线性演化方程。