具非局部源的伪抛物型方程的Cauchy问题

本文研究了具有非局部源的伪抛物型方程u_(t)=∆u+k∆ut+∥w(x)u∥_(Lq)^(p-1)(Rn)ur+1(x,t)的Cauchy问题,其中权函数w(x)∼|x|-s(当|x|足够大).在w(x)∈Lq和w(x)/∈L^(q)两种情况下考虑这一问题的第二临界指标,即鉴别整体解与非整体解的初值的临界衰减阶.结果表明,三阶粘性项k∆ut和权函数w(x)的存在有益于解的整体存在或可延迟解的爆破时间.

带色散的四阶抛物型方程的紧致差分格式

本研究提出一种有效求解带色散四阶抛物型方程的四阶紧致差分格式。对该方程的空间变量用四阶紧致差分格式进行离散,对离散之后得到的常微分方程组用三次Hermite插值法进行求解,得到一种空间和时间方向上都具有四阶精度的数值格式,并用傅里叶方法证明了该格式的无条件稳定性。数值实验中给出三种类型的算例,并将本研究格式与Crank-Nicolson格式进行数值比较,证明了本研究格式的有效性。结果表明,本研究格式对求解带色散的四阶抛物型方程具有很好的实用性。

一种求解时间分数阶非线性抛物型方程的等阶混合有限元

为数值求解时间分数阶非线性抛物型方程,本文提出了一种k次等阶混合有限元.为获得有限元的完全离散格式,本文在时间方向上考虑经典L1格式、在空间方向上使用基于局部投影的稳定混合有限元.本文定义了混合投影并得到了有限元的误差估计.数值算例验证了理论结果 .

一类双重退化四阶抛物型方程弱解的存在性

本文主要研究了一类双重退化的四阶抛物方程弱解的存在性问题.首先,利用Galerkin理论与能量估计方法可以得到该问题在非退化边界情形下弱解的存在性.在此基础上,通过对正则化问题的解进行一致估计以及渐近极限的过程,获得边界退化情形下弱解的存在性.

基于终端观测条件反演非线性抛物型方程的辐射系数

研究了利用终端观测数据重构非线性热传导方程辐射系数的反演问题。与一般的抛物型方程不同的是,非线性热传导方程不仅具有非线性源项,而且边界也是非线性的。主要研究了一维逆问题的理论分析。对于多维情况,同样是适用的。基于最优控制框架,考虑到原问题的不适定性,首先将原问题转化为一个优化问题,在对原问题做估计的同时,证明了控制泛函极小值的存在性以及极值存在的必要条件。其次由于最优控制问题是非凸的,一般不存在全局唯一性,该解只在一些特殊条件下是局部唯一的。最后简单给出了解的稳定性分析。需要指出的是,一般情况下,参数识别是一个非线性反问题,即使其基本方程是一个线性方程。模型复杂性的增大,一方面使得该模型可以刻画更多的物理现象,另一方面也会给相应的分析带来更大的困难。因此,逆问题P的非线性程度,在某种意义上,要高于那些由线性方程控制的非线性程度,在复杂性方面也是如此。

一类抛物型方程初值与源项同时反演问题的唯一性与数值计算

基于实际应用的驱动,利用局部观测数据研究了一类抛物型方程初值与源项同时反演问题。首先利用特征函数展开法得到问题的级数形式解,基于级数解构造性地证明基于2个观测时刻的含局部测量数据同时反演问题的非唯一性;其次利用抛物型方程解的解析延拓性,证明了基于3个观测时刻含局部测量数据的同时反演问题的唯一性;然后基于有限元插值技术和叠加原理,构造了同时反演问题的反演算法;最后通过构造具有解析解和不具有解析解的数值算例验证了反演算法的有效性。

具幂次非线性项的伪抛物型方程的精确解

研究具幂次非线性项的伪抛物型方程.利用二阶微分方程作为辅助方程,对伪抛物型方程的解进行合理假设,将原方程转化为一组复杂代数方程并借助于计算机代数系统进行求解,最终获得了伪抛物型方程具有tanh函数形式、三角函数形式和有理函数形式的新精确解.

具有Neumann边界条件的抛物型方程解的估计

研究了具有Neumann边界条件的一类抛物型方程解的估计,通过微分方法,选取合适的辅助函数和利用极值原理来进行证明。

退化抛物型方程的一个源项反演问题

在利用终端观测温度重构退化热传导方程中,研究了空间依赖热源的反问题。以最优控制框架为基础,将反问题转化为优化问题,证明了目标泛函极小值的存在的必要条件。提出了一种构造二阶精度差分格式的方法,利用共轭梯度法求出了反问题的数值解,提高了算法收敛速度。数值实验结果表明,所设计的算法具有较高的反演效率和稳定性,对未知热源进行重构时能取得较好的效果。

一类线性和非线性抛物型方程反问题

本文讨论一类线性和半线性抛物型方程带有附加条件∞0u(x ,t)dx =h(t)或其导函数某点值为已知的若干反问题 ,证明了这些反问题解的存在性和唯一性 。

抛物型方程阿达玛基本解系数的求法

本文给出了方程 ?u/?t-Lu=0的基本解系数的递推关系。

抛物型方程的演化参数识别方法

给出了一种利用演化计算方法求解微分方程中的参数识别类型反问题的方法。该方法把参数识别问题转化为泛函的优化问题用演化算法来求解 ,指定待定参数的函数类形式 ,用遗传算法 (GeneticAlgorithms)来演化待求参数的最优估计值 ,并将该方法运用于线性扩散方程和拟线性对流扩散反方程反问题的数值模拟中。

一类非线性脉冲时滞抛物型方程的强迫振动性

研究一类非线性脉冲时滞抛物型方程解的强迫振动性,借助Green定理将多维振动问题转化为关于某一类非齐次脉冲时滞微分不等式的一维问题,获得了这类方程在2类不同边值条件下解强迫振动的若干新的充分条件。

三维抛物型方程的两种加权平均隐式多重网格方法

提出了数值求解三维抛物型方程的两种精度分别为O(τ2+h2)和O(τ2+h4)的两层加权平均隐格式,利用Fourier分析方法证明了格式均是无条件稳定的。并在此基础上首次提出了求解该问题的多重网格算法,从而克服了传统迭代法在求解隐格式时收敛速度慢的缺陷,大大加快了迭代收敛速度,提高了求解效率。数值实验结果验证了方法的精确性和可靠性。

用演化算法求解抛物型方程扩散系数的识别问题

基于演化算法给出了一类求解参数识别反问题的一般方法 .该方法表明只要找到好的、求解相应的正问题的数值方法 ,演化算法就可以用于求解此类反问题 .设计有效的求解反问题的演化算法的关键是寻找一种适合反问题的解空间的编码表示形式、适当的适应值函数形式以及有效的计算正问题的数值方法 .该文结合演化算法、传统的求解反问题的迭代方法和正则化技术 ,设计了一类求解参数识别反问题的方法 .为验证此类方法 ,将其用于求解一维扩散方程的扩散系数的识别问题 ,得到了较好的数值结果 。

二维抛物型方程的高精度分支稳定显格式

本文构造了一个解二维抛物型方程的高精度显格式，其稳定性条件为ｒ ＝ Δｔ／Δｘ２ ＝ Δｔ／Δｙ２ ＜ １／２，截断误差为 Ｏ（Δｔ２ ＋ Δｘ４）。

三维抛物型方程的一族高精度分支稳定显格式

构造了一族解三维抛物型方程的高精度显格式 ,其稳定性条件为r=Δt/Δx2 =Δt/Δy2 =Δt/Δz2 <1/2 ,截断误差为O(Δt2 +Δx4 ) ·

二维抛物型方程的高精度多重网格解法

提出了数值求解二维抛物型方程的一种新的高精度加权平均紧致隐格式 ,利用Fourier分析方法证明了该格式是无条件稳定的 .为了克服传统迭代法在求解隐格式时收敛速度慢的缺陷 ,利用了多重网格加速技术 ,大大加快了迭代收敛速度 ,提高了求解效率 .

四阶抛物型方程子域精细积分紧致差分格式

首先给出了四阶导数的紧致差分公式，然后应用子域精细积分的方法，本文构造出了一个求解四阶抛物型方程周期初值问题的含参数α（0〈α〈〈△t）的紧致格式，所得到的差分格式为五点、两层的隐格式。Fourier分析方法表明该格式为无条件稳定，其局部截断误差为O（α（△t）^2＋α^2（At）^3＋（△x）^4），其中△t，△x分别为时间步长和空间步长，误差分析和数值实验均表明，本文构造的格式比经典的Crank—Nicholson格式和Saul’ev构造的格式精度要高阶10^-3-10^-4。从精度及稳定性方面考虑，本文构造的格式也较好，因此，本文的差分格式是有效的，具有很好的实用性。

求解一维抛物型方程的一种高精度半显式差分方法

利用加权平均思想和二阶微商的四阶紧致差分逼近公式,构造了一种求解一维抛物型方程的高精度半显式差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).通过Fourier分析方法证明了该格式是无条件稳定的.通过数值算例验证了本文方法的精确性和可靠性.