反馈校正机制视角下数值计算方法教学实践与探索——以方程求根为例

数值计算方法与自动控制原理看似泾渭分明的两门自动化专业课,在科学思想上存在千丝万缕的联系,甚至具有异曲同工之妙.本文以数值计算方法中的方程求根与自动控制原理中反馈控制设计为切入点,分析数值计算方法方程求根算法中的反馈控制理念,挖掘求根算法背后的科学思想,为学生深入理解和掌握两门课程的基本思想,形成合理的知识结构提供启迪,同时为进一步提升现有算法的计算效率、计算智能乃至原始创新提供理论抓手与思想基础.

例谈用一元二次方程求根公式解难题

求根公式解含参一元二次方程,结果一般都比较繁(两个根都是二次根式代数式),用于计算会更繁,往往被认为是笨拙的解法而不被看好,特别是难题,一般都不考虑用求根公式解决,其实,有些难题用求根公式解并不难,本文通过两个例说明.

基于求根MUSIC算法的电压闪变参数估计

提出了一种不需要提取电压闪变包络线的闪变检测方法,对电压闪变参数的提取可通过三角函数分解转化为对边频分量的求取。将求根MUSIC算法直接应用于电压闪变检测,首先对采样信号数据矩阵的协方差矩阵进行奇异值分解,得到信号子空间和噪声子空间,利用两个空间的正交性构造多项式,对多项式求根,对单位圆上的根进行分析,得到边频分量的频率和幅值信息,通过公式计算得到精度较高的闪变信号参数。仿真结果表明该算法在闪变信号参数的提取中精确度高,且抗噪能力强。

方程的求根公式和根的展开式及其算法

本文获得了方程的求根公式及其根的级数展开式 ,并得到了求根的算法 ,同时 。

求根问题的量子计算算法

求根问题是计算数论中的一个困难性问题,为了提高求根问题的求解效率和扩大量子计算的应用范围,对求根问题进行了量子算法的分析.在两大量子算法Shor算法和Grover算法的基础上,提出了2种解决求根问题的量子算法RF-Shor算法和RF-Grover算法.经分析,RF-Shor算法需要多项式规模的量子门资源,能以接近1的概率求出求根问题的所有解.在没有使用任何可提高搜索效率的经典策略的情况下,RF-Grover算法能在O(M/k)步内以至少1/2的概率求出求根问题k个解中的一个解.

基于谱分解的降阶求根MUSIC算法

求根多重信号分类(Root-MUSIC)算法以多项式求根代替谱峰搜索,降低了波达方向(DOA)估计的计算量,但当阵元数较大时,其计算量依然很大。为进一步降低计算量,该文提出一种降阶Root-MUSIC(RD-Root-MUSIC)算法。该算法基于谱分解将Root-MUSIC多项式的阶次降低一半,再根据矩阵特征多项式与求根多项式的关系构造友阵,采用Arnoldi迭代计算得到友阵的L个大特征值(L为信号数)并估计DOA。仿真结果表明,RD-Root-MUSIC估计精度与Root-MUSIC相近,但其在大阵元下具有比Root-MUSIC更低的计算量。

基于实值特征值分解的求根MUSIC算法

针对非圆信号DOA估计问题,提出了一种基于实值特征值分解(Eigenvalue decomposition,EVD)的求根MUSIC算法。首先利用非圆信号为实值信号的特点,将阵列上的接收数据及其共轭用欧拉公式转换为实值正弦与余弦数据,然后将正弦与余弦数据进行串联,从而扩展了数据维数。由于采用实值矩阵的EVD,因此在EVD阶段的运算量简化为复值EVD的1/4。根据EVD后获得的信号与噪声子空间的特点,对噪声子空间和导向矩阵进行重构以便于可以使用求根MUSIC算法获取对DOA的估计。仿真实验验证了本文算法的有效性。

基于多项式求根的双基地MIMO雷达多目标定位方法

该文提出了一种基于多项式求根的双基地MIMO雷达多目标定位方法,该方法将2维的收发方位角度估计分离为两个1维的方位角度估计过程,采用多项式求根法对1维方位角度进行估计,避免了传统的2维谱峰搜索,所估计的2维方位角能够自动配对,不需要额外的配对运算,而且系统的最大可定位目标数目不少于接收机数目。仿真结果证明了算法的有效性。

基于求根多重信号分类和遗传算法的谐波间谐波频谱估计

为了改善电能质量,需要准确估计电网电压或电流的谐波、间谐波频谱。将空域处理技术的空间谱估计方法应用到电网信号的谐波、间谐波频谱估计。使用求根多重信号分类方法估计电压或电流的不同频率成分数及各成分的频率,各成分的幅值和相角估计由遗传算法完成。首先介绍频谱估计使用空间谱估计的理论依据,然后详尽地说明了求根多重信号分类方法和遗传算法的原理及算法流程。仿真结果和与其他方法的比较证明此方法在数据长度有限和噪声干扰时可以准确估计谐波、间谐波的频谱。

基于多项式求根的欠采样频率估计方法

基于多项式求根算法,本文提出了一种新的欠采样宽频带信号频率的估计方法。根据直接欠采样信号及时延后的欠采样信号在不同整数倍抽取下形成的数据向量均满足Vandermonde结构,推导出了由欠采样引起的模糊频率值及由时延产生的延迟相位与模糊频率的联合估计值的快速估计算法,并结合一定的配对方法和解模糊算法就可实现无模糊的宽频带信号的频率估计。本算法无需作大量的矩阵运算,具有算法简单、易于实现等特点,仿真验证了上述结论的正确性及高精度特性。

非圆信号多级维纳滤波DOA估计求根算法

针对非圆信号DOA估计的计算量问题,运用多级维纳滤波和信号子空间的多项式求根方法,提出了一种快速算法。首先利用非圆信号特性构造出扩展阵列输出矩阵,然后不需进行协方差矩阵的生成和分解,利用多级维纳滤波求出信号子空间,针对均匀线阵推导出信号子空间多项式求根方法,得出目标的DOA估计值。新算法的均方根误差性能与非圆信号求根MUSIC算法、非圆信号ESPRIT算法、非圆信号扩展传播算子算法等快速算法相仿,但是计算量小于已有的算法,特别是在阵元数较多的情况下算法的实时性优势更加明显。

基于特征空间求根法的非整数次谐波估计方法

现有傅里叶算法在含有非整数次谐波的情况下存在着频谱泄漏和栅栏效应,AR模型谱估计和多信号分类法(MUSIC)法能提高频率分辨率,但对噪声敏感,容易产生虚假频率。提出基于特征空间求根法进行频率的精确估计,对修正的信号自相关矩阵进行特征值分解,利用信号子空间和噪声子空间的正交性构造多项式,进行多项时求根,得到单位圆上的根进行频率估计,在此基础上通过三角回归法,解一超定方程组得到相应的振幅和相位。并与MUSIC法在无噪声和有噪声情况下进行仿真比较,证明了该方法在提高分辨率、减小估计偏差和提高数据精度的有效性。

CAGD/CG领域中一元多项式方程求根问题综述

在CAGD/CG领域中的很多基本算法都可以归结为一元方程的求根问题,经典的一元多项式方程求根算法多是针对幂基函数表示的.Bernstein基函数以其良好的数值计算稳定性、直观的几何意义在CAGD/CG中有着广泛的应用.文中对CAGD/CG中的一元幂基和Bernstein多项式方程求根算法从理论基础、数值鲁棒性与计算效率等方面做了详细介绍、分析和实验对比,并对于如何选用各种算法给出了建议.

非圆信号扩展传播算子DOA估计求根算法

为有效降低非圆信号DOA估计算法的计算量,提出了一种非圆信号DOA估计快速算法。该算法运用扩展传播算子和多项式求根方法来降低计算量。首先根据非圆信号特性构造出扩展阵列输出矩阵,并生成扩展协方差矩阵,然后不需要对协方差矩阵的特征分解,使用扩展传播算子方法得到估计的扩展噪声子空间,再利用均匀线阵的多项式求根方法快速求出目标的DOA估计值。对算法的性能仿真和计算复杂度分析结果表明,提出的算法不但其均方根误差性能与NC-root-MUSIC、NC-ESPRIT、NC-MSWF-MUSIC等快速算法相似,同时提出的算法还大大减小了非圆信号DOA估计MUSIC算法的计算复杂度,而且其计算复杂度小于上述提到的快速算法,实现了非圆信号DOA估计算法的快速估计。

基于启发式数学教学思想的命题教学设计——以“一元二次方程的求根公式”为例

一、数学命题的教学有待进一步关注 数学命题是表示数学概念具有某性质或者数学概念之间具有某种关系的判断，正确的数学命题一般表现为数学公式、法则、性质、公理、定理等（多数公式和法则是数学命题的符号化表示，可转换为文字表示的数学命题），因此将它们统称为数学命题。数学命题构成了中学数学知识结构的核心，从而使得数学命题的教学在数学教学中占有非常重要的地位，因此如何搞好数学命题的教学也自然成为数学教师持续思考的经典话题。

利用跟踪微分器构造未知函数的寻优器及求根器

针对函数结构未知的情形 ,构造出能寻优和求根的非线性动态系统。这些动态系统是用两个跟踪微分器和函数的输入输出过程值模拟数值迭代过程得到的 ,是对未知函数实现寻优和求根的动态结构。

酉求根MUSIC算法在双基地MIMO雷达中的应用

研究双基地多输入多输出(MIMO)雷达多目标波离角(DOD)和波达角(DOA)的联合估计问题,提出一种酉求根多重信号分类(MUSIC)算法。该算法在求根MUSIC算法基础上,利用协方差矩阵的中心Hermite对称性质,通过酉变换将协方差矩阵的复数运算转为实数,进行实值特征分解得到噪声子空间,对比原协方差矩阵和实值协方差矩阵的特征对应关系,得出酉求根MUSIC谱函数,分两步分别估计目标DOA和DOD,且计算结果自动配对。相对于传统求根MUSIC算法,该算法只进行协方差矩阵的实值特征分解而不需要进行复数运算,因此大大降低了计算量,而且在不降低阵列孔径的条件下无需空间平滑即具有解相干能力。计算机仿真证明了该算法的有效性。

一种非线性方程求根的新算法

文章采用二分法预报、改进的Aitken迭代校正的方法,构造了一种非线性方程求根的一种新算法。新算法在迭代过程中不用计算导数,且二阶收敛。数值试验表明,该算法具有较高的精度和较大的初值选择范围。

冲激噪声下相干信源的求根MUSIC算法

由于在冲激噪声背景下,MUSIC算法对信源波达方向估计将失去韧性,且无法解相干,运算量较大,为此对前后向平滑算法和修正的MUSIC算法进行了改进,提出相干信源波达方向估计新算法。简要分析了线阵模型以及共变,将阵列输出矩阵从二阶原点矩扩展到低阶矩,通过分析共变矩阵,得到基于共变矩阵的空间谱,再将谱峰搜索转变为多项式求根,最后可得相干信源波达方向估计。通过仿真,在冲激噪声或高斯噪声下,改进算法可以对相干信源的波达方向进行正确估计。算法性能分析表明改进算法具有良好的稳健性。

基于实值传播算子的非圆信号DOA估计求根算法

为有效降低非圆信号DOA(direction of arrival)估计算法的计算量,本文提出一种非圆信号DOA估计快速算法,借助实值扩展传播算子和多项式求根方法来降低计算量。首先利用信号非圆特性构造出实值的扩展阵列输出矩阵及扩展协方差矩阵,然后使用扩展传播算子方法代替扩展协方差矩阵的特征分解得到噪声子空间,再利用均匀线阵的多项式求根方法获得目标的DOA估计值。对算法的性能仿真和计算复杂度分析表明,新算法的均方根误差性能与Euler-root-MUSIC、NC-root-MUSIC等快速算法相近,但其计算复杂度小于上述非圆信号DOA估计快速算法。优良的性能和较低的计算量使新算法具有良好的实用价值。