数学中实无穷与潜无穷的几个问题

传统无穷理论体系分化成数学、哲学中的潜无穷与实无穷两种学说，它们共存、却又争论不休；既不相容又无法否定对方．本文讨论这两种学说中的几个问题．

潜无穷、实无穷探析

究竟什么是潜无穷、什么是实无穷,它们之间究竟存在着什么样的关系?无穷概念从诞生之日起就伴随着潜无穷和实无穷的长期论争。尽管不同的哲学家、逻辑学家和数学家持有不同的无穷观,但是历史上他们对于潜无穷和实无穷给出的都是直观的描述,一直没有给出严格的数学定义;对于潜无穷和实无穷之间的关系也是莫衷一是。通过对潜无穷、实无穷特征的分析,我们可以尝试给出一个严格的潜无穷和实无穷定义,利用这一定义可以对若干悖论进行新的解释,并且可以对集合论研究提供一个新的视角。

潜无穷、实无穷与数学分析

讨论潜无穷和实无穷在数学分析的诞生到发展、成熟的过程中各个阶段的作用,分析数学分析中依然存在的两种无穷观的矛盾。,

论“无穷事物”的定量认知(Ⅲ)--“‘无穷载体理论’缺失”和“‘潜无穷-实无穷’混淆”所导致的“无穷事物”定量认知难题

分析、研究由自古以来悬而未决的典型"‘无穷小-无穷大’悖论家族"所揭示的与"无穷事物的定量认知"问题相关的现有经典科学体系基础理论中的致命缺陷,提出当代数学分析和集合论中14个与"无穷小-无穷大"相关的定量认知难题.在与"无穷"相关的现有经典科学体系基础理论中,"‘无穷载体理论’缺失"和"‘潜无穷-实无穷’混淆",导致了几千年来人们一直没有能力自圆其说的回答这样一个非常基本的问题——"与无穷相关的数量形式"(与数量相关的无穷事物)究竟是"潜无穷"还是"实无穷"?如果是"潜无穷",该如何对它们进行定量认知;如果是"实无穷",该如何对它们进行定量认知?基础理论的致命缺陷在数学中形成了千百年来无法逾越的"无穷事物定量认知障碍".抛弃互相矛盾的(非科学的)"潜无穷-实无穷"理论,系统研究、开发与"抽象无穷概念-抽象概念无穷的载体"相关的新无穷理论体系,是解决这些错误与缺陷、驱散几千年来一直悬挂在与"无穷"相关的现有经典科学体系上空那片巨大"无穷悖论家族乌云"必须迈出的第一步.

无穷观问题的研究(Ⅱ)—从Hausdorff的直觉和Poincaré的名言到Brouwer剧场现象

本组系列论文 ( )～ ( )从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状 ,确立了无穷观背景世界的三分法原则 ,指出了两种无穷观相互排斥的局限性 ,形成了统一两种无穷于同一框架中的基本观点 ,并建立了一个统一实无限与潜无限于同一框架中的公理集合论系统 APAS。

无穷观问题的研究(Ⅲ)——‘每一’与‘所有’

本组系列论文 ( )～ ( )从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状 ,确立了无穷观背景世界的三分法原则 ,指出了两种无穷观相互排斥的局限性 ,形成了统一两种无穷于同一框架中的基本观点 ,并建立了一个统一实无限与潜无限于同一框架中的公理集合论系统 APAS。

APOS理论视角下无穷概念认知分析

无穷概念一直是学生学习的一个困难.APOS理论是一种建构主义的数学学习理论,包含操作、过程、对象和图式4个阶段.内化和凝聚是APOS理论的两个重要的心理机制.教师对无理数的认识要从历史视角下关注数的发展,从＂发生教学法＂角度上进行无理数教学设计,让学生从概念发展的过程阶段转化到对象阶段.

无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源

从新构建的基础理论学的角度,以全新的基础理论学的方法[1],讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念:潜无穷式的与实无穷式的无穷集合.指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,其直接的后果就是:一方面混淆了原来的“有穷”概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为·集合论基础理论中这个致命缺陷是导致第三次数学危机的最根本原因·得出明确的结论:迄今为止,所有与无穷小、无穷大相关的问题与悖论在现存的含有潜无穷与实无穷概念的无穷理论体系中是不可解的,只有对现有的“无穷”概念进行修正,构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系[2、3]才是构建健康的无穷集合论的唯一途径.

人类科学中经典无穷理论体系的终结

进一步介绍了新构建的无穷理论体系的特点,宣告经典无穷理论体系的终结.

论“无穷”

以在"无穷"领域中和认知理论中新的研究成果为基础,从本体与形式论角度,在不同层面上再次对人类科学现有传统无穷理论体系中所存在的认知缺陷进行分析,得到"自古以来正是对‘无穷’概念在‘本体-形式’上的认知缺陷导致了具体的‘性质-载体’的认知缺陷,这些错误与缺陷决定了现有人类科学中必然存在互相矛盾的两种错误‘无穷’概念(实无穷和潜无穷)和与之对应的实无穷理论和潜无穷理论,并直接导致了与‘无穷’密切相关的极限论、数量体系和集合论中存在严重的本体与形式论方面的错误与缺陷,产生了三大悬而未决的悖论家族"明确的结论。两千五百多年来人们在解决这些错误与缺陷的思路是错误的,人类科学需要新的无穷理论体系。

新构建的无穷理论体系与经典无穷理论体系之间的本质性区别

用全新的基础理论学的方法,深入揭示、分析了经典无穷理论体系(无穷观)中所存在的三个本质性缺陷,进一步介绍了新构建的无穷理论体系的特点,得到明确的结论:1)人类沿用了几千年的经典无穷理论体系不管从宏观或微观的角度都无法真正从质上与量上描述与认识客观世界中存在的无穷事物;2)现有人类知识大厦中所有与“无穷”、“无穷小”、“无穷大”概念相关的悖论与难题在经典无穷理论体系中是不可解的.

N+H=K公式中的“N”和“H”,现有传统无穷理论体系中的四大缺陷与数学基础

进一步研究、认识新构建的N+H=K认知公式中的三大要素N,H和K.构建"被认知事物存在状态谱系Na,Nb,Nc,Nd"和"认知者存在状态谱系Ha,Hb,Hc,Hd".作为一个典型个案,从新的"知识—科学"认知角度分析数学基础理论中与"无穷"概念相关的悬而未决的悖论、难题与争论所暴露的深层结构理论中的缺陷.

人类科学中经典无穷理论体系的终结

从新构建的基础理论学的角度,用全新的基础理论学的方法[1],在两个层面上揭示了经典无穷理论体系(无穷观)中所存在的三个本质性缺陷,得到明确的结论:1.人类沿用了几千年的经典无穷理论体系不管从宏观或微观的角度都无法真正从质上与量上描述与认识客观世界中存在的无穷事物。2.在经典无穷理论体系中产生的所有与“无穷”、“无穷小”、“无穷大”概念相关的悖体论与难题在自己的理论体系中是不可解的[1,3]。介绍了新构建的无穷理论体系的特点,宣告经典无穷理论体系的终结。

与“无穷”相关的现有数量理论基础中的“科学性缺失”缺陷、概念与逻辑、“无污染”数学基础研究

所有与"无穷"相关的人类科学中的数学内容,尽管形式不同但根基相同.当我们沿着与"科学认知"、"数学哲学""、无穷"相关的系列研究思路,探究与"无穷"相关的数量理论的基础,以四种明显的"无穷"缺陷实例揭示现有经典数量体系基础中所存在的"科学性缺失"缺陷.结果表明:(1)悬而未决的"三大无穷悖论家族"作为一个综合症状群从三个不同角度、不同层面揭示了现有经典数量体系基础中所存在的"科学性缺失"缺陷,这种缺陷决定了我们人类一直无法从"本体—形式"的角度认真对"无穷小、无穷大、变量……"这类与"无穷"相关的数量内容进行系统、科学的定性、定量研究与认知;自古以来,那种"绕过基础理论中的缺陷、仅针对表面问题"的工作思路是错误的.这些是导致与"无穷数"相关的许多数学内容中错误与逻辑矛盾的真正根源(.2)应当在前人已取得的研究成果基础上,摆脱现有经典无穷观基础中所存在的错误工作思路与内容的不良影响,开展"无污染"数学基础研究,扩充数系,弥补与"无穷"相关的各领域(如数学分析、集合论、极限论……)基础理论中的缺陷,开拓全新的"理论无穷—应用无穷"及"无穷数分析"研究,为人类科学中的"数量理论"奠定扎实的基础.

论无穷事物的定量认知(VI)——解决现有经典集合论及其“一一对应”定量认知工具基础理论中致命缺陷的新思路

结合具体案例,分析、研究长期被忽视的现有经典集合论及其“一一对应”定量认知工具基础理论中所存在的致命缺陷,而以新构建的“无穷规律-无穷规律的载体(抽象概念-抽象概念的载体)”概念为基础的新无穷观的产生,为与“无穷”概念相关的新科学理论体系各个领域(包括集合论和“一一对应”工具)的基础理论奠定了科学的基础,为解决2500多年来悬而未决的“无穷悖论综合症(悬挂在哲学与数学上空的一片巨大的乌云)”所暴露的一些问题开辟了一条新的思路.

论“无穷事物”的定量认知（Ⅶ）——“无穷悖论综合症”的“自我反驳机制”根源与现有数学分析、集合论中必然存在的同一种悖论现象

沿着一条新的研究思路,清楚的发现了各种悬而未决的“无穷悖论”家族成员之间一种密切的“同源关系”——都是“自我反驳机制”的产品.尽管人们一直在努力解决数学中这些与无穷相关的“自我反驳悖论”,但由于工作思路上的错误,这些悖论的家族成员不仅毫发未损,而且还一直不断的在繁荣、壮大;正是科学体系基础理论自身的致命缺陷,决定了各种“自我反驳悖论”与其相关的理论体系基础理论中的缺陷共存——现有科学理论体系的许多领域中那些与自我反驳机制密切相关的悖论家族成员是不可解的.

论“无穷事物”的定量认知(Ⅷ)——新、旧无穷集合论和数学分析基础理论中的三个不同特征

从最原始的基础入手,研究证明了无法科学定义、互相矛盾的“潜无穷—实无穷”概念是现有经典无穷理论体系的基础,以经典无穷理论体系为基础的现有经典数学分析和集合论自古以来都存在完全相同的三个基础理论缺陷,人们只能在缺乏科学基础理论的状态下摸索前进.虽然现有经典数学分析和集合论解决了许多实际的“无穷事物”定量认知问题,但也产生了许多性质完全相同的、专门暴露相同基础理论致命缺陷的各种悬而未决的悖论家族“.抽象事物—抽象事物的载体”为基础的新无穷理论体系和系统性的“无穷载体理论”的构建,为我们开辟了一条解决现有经典集合论和数学分析基础理论中的三个缺陷及其相关悖论的新思路,决定了第四代数学分析和第二代无穷集合论的产生.

两种无穷观的辩证法讨论

文章就两种无穷观学说的含义进行阐释,并在此基础上进一步讨论了两种无穷观学说中蕴含的丰富的辩证法内涵:对立统一规律,量变质变规律以及否定之否定规律.运用辩证法可以正确理解两种无穷观.

极限思想与无穷观

哲学上柏拉图(Plato,约公元前427-347)的实无穷观和亚里士多德(约公元前384—322)的潜无穷观分别成为了数学实无穷论者和潜无穷论者的主要依据。实无穷、潜无穷两种无穷观对于极限思想的形成发挥了至关重要的作用,极限思想在这两种无穷思想的往复更迭中发展的日趋完善。

微积分核心概念的无矛盾表述(续)——不需无穷小、极限等概念的增量分析

在前期工作的基础上,提出强而有力的证据,进一步论述了在现有微积分基础理论中,贝克莱悖论没有、也根本不可能如很多人所认为并声称的那样被消除,而只是在若干繁复、生僻的概念、定义、步骤之下被掩盖。基于此认识,把先前提出的唯一可以彻底解决此类矛盾、并且根本无涉极限、潜无穷、无穷小概念的导数的全新定义,推广到微分、积分领域,以彻底解决、澄清数学分析基础理论中的一些疑难问题。可以看出,如想真正消除微积分基础理论、导数求导、微分、积分理论中的固有矛盾,笔者前期及本文提出的理论解释——特别是关于导数的新定义——就不能不是必需的。显然,分析理论中的矛盾、悖论即消,可使整个理论非常明确并大为简化。同时,正是由于现有的、仅仅致力于"掩盖"分析理论中固有的矛盾、悖论的做法本身的窘境,而使中外学者甚感困扰的微积分基础理论的教学困难,也必将由于理论中矛盾的彻底澄清而变得极其简单、干净。