一个新的算术函数及其均值

对任意正整数n,我们定义算术函数Ω-(n)为Ω-(1)=0,当n>1,且n=p1α1.p22α…pkαk为n的标准分解式时,定义Ω-(n)=1αp1+2αp2+…+kαpk.显然这个函数是可加函数.即就是对任意正整数m及n有Ω-(m.n)=Ω-(m)+Ω-(n).本文主要目的是利用初等方法研究函数Ω-(n)的算术性质,并给出一个较强的均值公式及有趣的恒等式.

一个算术函数与最大素因子函数的混合均值

在Smarandache函数S(n)及因子积数列{Pd(n)}的基础上,构造并研究了∑n≤x(S(Pd(n))-21d(n)P(n))2的一种均值分布性质,利用初等方法和素数定理研究了混合均值问题,给出了它的一个较强的渐进公式.

一个新的算术函数和它的渐近公式(英文)

设n是任意给定的正整数,如果n的正因子的乘积小于等于n,则称n为简单数.在简单数上引入一个新的算术函数Vm(n),其中Vm(n)=Vm(p1α1)…Vm(pkkα),Vm(1)=1,Vm(pα)=α+m.利用初等的方法研究了算术函数Vm(n)在简单数上的渐近性质,并获得了一个有趣的渐近公式.

一个新的算术函数及其值分布

目的定义一个新的算术函数,并研究它的值分布性质。方法利用初等方法和解析方法。结果关于这个函数的值分布性质,给出了一个有趣的均值定理。结论发展了经典的算术函数的相关研究工作。

与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数，S=｛x1，…，xn｝为一个n元正整数集合．称S为gcd-封闭的，如果对于任意1≤i，j≤n，均有（xi，xj）∈S．以S=｛y1，…，ym）表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合．设（f｛xi,xj））表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最大公因子（xi,xj）处的值．设（f[xi,xj]）表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最小公倍数[xi.xj]处的值．本文证明了。(i)如果f∈Cs=｛f:(f*μ)(d)＞0，x∈S,d|x｝这里f*μ表示f与μ的Dirichlet来积，μ表示Mobius函数，那么并且（1）取等号当且公当S=（ii）如果f为乘法函数，并且1/f∈Ca,那么并且（2）取等号当且仅当S=。不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果。＃且（1）＄＄95llttgS－g；（n）toilk＃ffed数，＃if｝。C。，W4并且问取等号当且仅当S一S．

一个算术函数的均值估计

令d(n)=■,p(n)为n的最小素因子。本文的主要目的是给出平均值sum(1/p(n))(n≤x),sum(d(n)/p(n))(n≤x),sum(1/p(n))(n≤x,n≡l(q))及sum(d(n)/p(n))(n≤x,n≡l(q))的一个较精确的渐近公式.

关于2个算术函数的一个混合均值

设素数p,ep(n)表示整除n的p最大指数,即ep(n)=max{α∶pα|n}.对任意正整数n,k≥2为给定整数,Smarandache Ceil函数的对偶函数Sk(n)=max{x∶x N,xk|n},利用解析的方法,研究了算术函数ep(n)Sk(n)均值分布性质,并给出一个渐近公式.

算术函数的多元扩张及其应用(英文)

定义在正整数集合上的复值函数称为算术函数．本文讨论算术函数的两种多元扩张及其对GCD函数矩阵与LCM函数矩阵的应用．

一种算术函数的上下界估计

任意自然数n显然都可由若干个1及加、减和乘法运算来表示。在n的所有可能的表示方法中,我们设f(n)表示包含1的个数最少的那种表示法中所含1的个数。本文给出了f(n)的一个较强的上下界估计,即证明了不等式 3 log_3n≤f(n)≤3.7 log_3n,其中log_3n表示以3为底的对数。

两个新的算术函数及其均值

对任意正整数n,我们定义两个新的算术函数f(n)和它的对偶函数■(n)为f(1)=(?)(1)=1,当n>1且n=p_1^(α_1)p_2^(α_2)…p_k^(α_k)为n的标准分解式时,定义f(n)=max(α_1,α_2,…,α_k)和■(n)=min(α_1,α_2,…,α_k).本文的主要目的是利用初等和解析方法研究这两个函数的算术性质,并给出两个有趣的均值公式.

两种算术函数的平均值

任意自然数n都可由若干个1通过加、减和乘法运算来表示。设f(n)表示n的所有表示法中包含1的个数最少的那种表示法中含1的个数.设(?)(n)表示n的所有不考虑减法的上述表示法中包含1的个数最少的表示法中含1的个数。本文应用分类求和法给出了这两种算术函数平均值的较强的上、下界估计,即3n log_3-3n≤sum from m=1 to n f(m)<3.45n log_3n+n和3n log_3n-3n≤sum from to n(?)(m)<3.81n log_3n+n。

一个算术函数的误差项估计

设Ψ(n)是Dedekind函数,∑n≤xnΨ(n)=αx+E(x),其中α是常数,E(x)是误差项.主要目的是利用经典的复积分理论及解析方法研究了E(x)的平方积分均值,得到了一个较为精确的估计式.

一个包含算术函数最小公倍数积的方程

设f(n)及g(n)是两个算术函数,它们的最小公倍数积(有时也称为R.D.von Sterneck-Lehmer积)是通过这两个函数定义的一个新的算术函数C(n)=∑[r,s]=nf(r)g(s),其中[r,s]表示正整数r及s的最小公倍数.利用初等方法以及函数Ω(n)的性质,研究了当g(n)=f(n)=Ω(n)时,方程C(n)=Ω3(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解.

两种算术函数上下界的讨论

在自然数中，任意自然数ｎ都可由若干个１通过加、减、乘法运算表示出来；也可以去掉减号，由若干个１通过加和乘法表示出来。在ｎ的所有可能的表示法中，我们分别用ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）记这两种表示法中包含１的个数最少的那种表示法中所含１的个数，参考文献［１］中给出了ｆ（ｎ）的一个较强的上下界估计，本文进一步证明了不等式３ｌｏｇ３ｎ≤ｆ（ｎ）≤３．６８ｌｏｇ３ｎ３ｌｏｇ３ｎ≤ｇ（ｎ）≤４．７６ｌｏｇ３ｎ并讨论了∑ｎ≤ｘｆ（ｎ），∑ｎ≤ｘｇ（ｎ）。

一个算术函数的均值估计

对整数 q≥1,设 J(q)表示模 q 的所有原 Dirichlet 特征的个数,本文的主要目的是讨论 J(q)及有关函数的均值性质,得到一系列有趣的结论。

一个新算术函数及其混合均值

利用初等方法和解析方法,研究了新算术函数fk(n)的性质,获得了一个较强的均值渐近公式。

一个算术函数及其有关的恒等式

对任意的正整数q,设A(q)表示模q在区间1≤m≤q中所有正则数的集合。在A(q)基础上引入一个新的算术函数,借助初等方法以及三角和性质研究了该函数的算术性质;利用此算术性质研究了包含该函数的一个无穷级数的计算问题,给出了此算术函数等于1时的具体形式,进而给出了一个包含该函数的一个有趣的恒等式。

与算术函数相关联的广义GCD矩阵的行列式（英文）

设S={x_1,…,x_n}是由n个元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d),用(f(S))表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑x∈S f(x)-∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|x_j d∈S f(d)+∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d).首先研究了矩阵(f(S))和(f(S))的结构,然后给出了这2个矩阵的行列式计算公式,这推广了Bege在2010年所得到的结果.

一个算术函数的均值估计

:任意自然数 n都可由若干个 1及加法、乘法运算来表示。设 f(n)为包含 1的个数最少的那种表示法中含 1的个数。已知这种算术函数平均值的上、下界估计为 3nlog3 n- 3n≤ ∑nm=1 f(m)≤ 3.81 nlog3 n+n,本文对上界估计作一点改进 ,得到 3nlog3 n- 3n≤ ∑nm =1 f(m)≤ 3.69nlog3 n+n。

k-集合上与算术函数关联矩阵的行列式（英文）

设S={x1,…,xn}是由n个不同元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))=(f(xi,xj))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最大公因子(xi,xj)处的取值,用(f[S])=(f[xi,xj])表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.若xi与xj的最大公因子(xi,xj)=k,1≤i≠j≤n,则称S是k-集合.本文主要给出了定义在k-集合上的矩阵(f(S))和(f[S])的行列式的计算公式.进而作为推论给出了det(f(S))|det(f[S])的条件.