一维谐振子薛定谔方程含时演化非级数解析解

1926年薛定谔找到了一个一维谐振子薛定谔方程含时演化解析解。这个解并不是能量本征态波函数级数求和形式。这可以让我们从新的角度理解量子系统的随时间演化行为。本文主要对该含时演化解析解进行了分析,给出了两种推导方法,然后继续推广得到了更多的含时演化非级数解析解,找到了这些解析解的递推关系,最后讨论了这些解析解的教学意义及应用。

高阶SF-SFDTD方法在含时薛定谔方程求解中的应用研究

时域有限差分方法(finite-difference time-domain,FDTD(2,2))被广泛用于量子力学中薛定谔方程的求解,然而受Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件的影响,计算空间中的网格尺寸会限制时间步长的取值范围,极大降低了FDTD(2,2)方法的数值计算效率.另外,FDTD(2,2)方法在时间域和空间域只具有二阶数值精度,在计算中往往会导致较大的误差累计,影响仿真结果的正确性.为了克服这些问题,结合空间滤波方法(spatial filtering,SF)和高阶辛时域有限差分(symplectic finite-difference time-domain,SFDTD(3,4))方法(3和4分别表示时间和空间数值精度),提出了一种时间稳定性条件可扩展的SF-SFDTD(3,4)方法用于求解含时薛定谔方程.SF-SFDTD(3,4)方法无需对传统SFDTD(3,4)方法的迭代公式进行进一步的推导,只需要在每一次的数值迭代过程中加入空间滤波操作,滤除因采用不满足CFL条件的时间步长而产生的不稳定空间域高频分量,保证数值方法的稳定性,因此所提方法与传统SFDTD(3,4)方法具有较高的兼容性.同时,理论分析了SF-SFDTD(3,4)方法的数值色散误差.最后,通过数值算例验证了本文所提方法的正确性和有效性.

基于修正非线性薛定谔方程的三维聚焦波组波谱演化

为了研究深水三维聚焦波的定向演化,对4阶修正非线性薛定谔方程(MNLSE)、3阶非线性项薛定谔方程(NLSE)以及线性方程等3种演化模型进行数值求解,并对生成的波谱特征以及其演化过程中的能量转移、波陡变化、平均波数变化以及带宽变化等特征进行对比研究。研究结果表明:在2种非线性演化模型的演化过程中均存在能量向高波数和低波数的转移,导致波浪波形发生变化,且非线性还会影响聚焦波陡、聚焦波组达到聚焦所需时间以及带宽等参数的变化;上述特征在2种非线性演化模型中存在着显著差异,4阶MNLSE演化下的三维聚焦波组特征优于3阶NLSE的演化。

α-螺旋蛋白中三分量高阶非线性薛定谔方程的怪波解

以三分量高阶非线性薛定谔方程为α-螺旋蛋白中生物能量沿蛋白质分子链传输的控制方程,研究三个相互耦合的波函数在极限状态下激发的怪波.基于控制模型的Lax对表示,利用规范变换得到了达布变换的行列式形式.通过Lax对的变量分离和平移参数的引入,给出了怪波激发的代数条件.进一步利用幂级数的多项分裂构造怪波解的基础特征函数,并由此导出退化的达布变换.最后通过退化的达布变换获得怪波解,并在不同参数下,用三维图形示例怪波的波形演化及其极值轨迹.

分数阶薛定谔方程反演左边界的拟边界正则化方法

研究无界区域上时间分数阶薛定谔方程的反演左边界反问题,这是一个不适定问题,即问题的解不连续依赖于测量数据.利用拟边界正则化方法求解此反问题,给出拟边界正则解.在先验和后验正则化参数选取规则之下给出正则解和精确解的误差估计.

2维薛定谔方程的一种高精度紧致差分格式

该文对2维薛定谔方程利用局部一维化方法,将2维方程分裂为x、y方向的2个1维薛定谔方程,然后采用6阶紧致格式的离散方法来处理空间变量的2阶导数项,将薛定谔方程转化为一个常微分方程组.通过L-稳定Simpson方法对上述空间离散化得到的常微分方程进行离散化,得到了一种具有空间6阶精度和时间3阶精度的格式,并证明了该格式无条件稳定性.并通过数值模拟和对比方法验证了格式的有效性.

广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解

基于规范变换,为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。应用达布变换的可迭代性质,获得该方程的N重达布变换。把广义五阶非线性薛定谔方程Lax对的两组特解代入二重和三重达布变换中,获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。

一类拟线性薛定谔方程解的存在性

在R^(N)上探究形式为-Δu+V(x)u-Δ(u^(2))u=h(u)的拟线性薛定谔方程解的存在性,其中N≥3,V:R^(N)→R,h:R→R。运用变分法和山路引理,证明了当函数V和非线性项h分别满足一些适当条件时,该拟线性薛定谔方程存在一个非平凡正解。

饱和非线性光学介质中带折射率项的薛定谔方程的数值模拟

首先将带折射率项的非线性薛定谔方程转化成无限维哈密尔顿系统,证明了方程的质量和能量守恒特性;再利用傅里叶拟谱方法和平均向量场方法离散方程,对离散格式中非积分项采用Boole离散进行线积分近似,得到了离散方程的能量守恒数值格式,同时给出了方程的辛格式;然后以不同振幅的入射双曲正割型光脉冲为初值条件,模拟了保能量格式和辛格式在不同参数条件下光孤子的演化过程.最后分析了不同初始光脉冲和参数对光孤子传输的影响和保方程质量和能量守恒特性.

一类耦合非线性薛定谔方程组的求解

在可积条件[HJ41x]c(t)=(γ2(t))2=1(C 1t+C 2)2,γ1(t)=γ2(t)=1 C 1t+C 2下,利用特殊变换法和Sine-cosine方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i∂∂t u(x,t)+i∂∂x u(x,t)-∂2∂t 2 u(x,t)+γ1(t)u(x,t)2u(x,t)+c(t)v(x,t)=0,i∂∂t v(x,t)+i∂∂x v(x,t)-∂2∂t 2 v(x,t)+γ2(t)v(x,t)2v(x,t)+[HJ]c(t)u(x,t)=0的精确解.其中:C i(i=1,2)是常数;γi(t)(i=1,2)是第i个纤芯的非线性参数;c(t)是两个纤芯之间的线性耦合参数.

利用齐次平衡法求解高阶非线性薛定谔方程

利用相似约化法将高阶非线性薛定谔方程转化为高阶常微分方程组,运用齐次平衡法求解高阶常微分方程组,获得了高阶非线性薛定谔方程的双曲-sech和tanh形式的孤子解,并且对所获得的解的代数结构展开讨论,给出相应三种解的图像.

一类带扰动项的拟线性薛定谔方程的多解性

该文研究了强制位势下非齐次拟线性薛定谔方程的多解性问题.通过山路定理和Ekeland变分原理,得到了该方程两个不同的解.所得结论是对此类拟线性方程已有结果的补充和推广.

分数薛定谔方程中燕尾高斯光束的可控反转与聚焦特性

在光场中引入一维燕尾突变函数,利用分步傅立叶方法研究了燕尾高斯(SG)光束在分数薛定谔方程(FSE)中的演化动力学,详细讨论了线性势、抛物线势、高斯势及无势的情况。在无势情况下,SG光束会因群延迟的变化而分裂成两个子光束,并且分裂轨迹会随着Lévy指数的增大出现弯曲。在线性势下,SG光束出现了周期性反转和聚焦行为,Lévy指数和线性势系数分别影响聚焦点峰值强度和反转及聚焦的演化周期,其反转和聚焦周期距离只受线性势影响而与Lévy指数无关。在抛物线势情况下,具有较大Lévy指数的SG光束的主瓣和旁瓣反转和聚焦从杂乱转变为周期性演化,其反转聚焦位置由抛物线势系数和Lévy指数共同决定。在高斯势中,光束的演化在势垒的约束下由于反射主瓣和旁瓣的干扰,窄势垒的周期性反转和聚焦出现杂乱混沌现象,而对于宽势垒,由于旁瓣减弱,周期性演化变得清晰。本文研究结果为利用高阶燕尾光波场实现光调制器和光开关提供了可能。

幂次型非线性薛定谔方程解的长时间性态

研究在R^(2)上幂次型非线性薛定谔方程{iu_(t)+1/2△u=λ|u|^(a)u,u(1,x)=φ(x),当0<α<1且λ∈R时,如果初值充分小,则方程存在唯一的整体解,并且当√5-1/2<a<1时,方程具有改善型散射态.

三维薛定谔方程组的线性Profile分解

为了研究线性薛定谔方程组解Strichartz估计的紧性缺失问题,针对H•^(1)(R^(3))×H•^(1)(R^(3))中的三维线性薛定谔方程组的有界解向量序列,使用解序列的Profile分解方法,构造为解向量子列的(1/√h_(n))U(t-t_(n))/h_(n)^(2),(x-x_(n))/h_(n)类型的Profile分解和.其中,U是线性薛定谔方程组的解向量,在Strichartz范数估计下具有一个很小的余项.首先确定伸缩变换参数序列族,利用傅里叶变换和迭代的思想确定Profile分解族.其次验证了Profile分解和的收敛性,说明了Strichartz范数下余项的收敛性.最后证明了当线性薛定谔方程组的解序列有界时,都可以分解为解向量子列和的形式.

带有PT对称势的非线性薛定谔方程的两类反问题

本文对带有PT对称势三阶五阶幂律非线性薛定谔方程提出了关于参数和势函数反演的两类反问题。对于参数反演问题,我们分别采用PINNs (Physics Informed Neural Networks)和传统的结合有限差分法与优化算法求解的方法进行比较。计算结果显示,在求解反问题时,传统方法每步参数优化需要数值求解非线性薛定谔方程,计算量较大。而PINNs的方法无需重复求解薛定谔方程,计算效率更高。对于PT对称势函数反演问题,通过在PINNs中嵌入自适应基函数,从而反演得到PT对称势。数值实验显示PINNs在算法计算反问题效率上优于传统微分数值求解和优化相结合的方法。

量子化学课中薛定谔方程的教学实践

薛定谔方程是化学专业的量子化学基础理论课程的重点和难点内容。为了使学生更好地理解和掌握薛定谔方程,笔者从波粒二象性的实验现象出发,通过与牛顿力学对比,推演出量子力学中重要的薛定谔方程,将微观粒子的波动性和粒子性完美结合在薛定谔方程中,让学生领悟量子力学的美妙之处。在授课过程中,笔者注重激发学生思考,引导学生分析、归纳和总结实验现象与基本理论之间的关系,从而使学生掌握相关知识。

非线性薛定谔方程解的同伦分析

同伦分析法是一种求解非线性演化方程的有效方法,本文研究了非线性薛定谔方程的同伦分析解。通过将方程化为耦合的方程组,给出了具有高次非线性和高阶色散的非线性薛定谔方程的孤子解和周期解,研究可给类似问题的求解提供有益思路。

显式与隐式方法求解含时薛定谔方程及误差分析

含时薛定谔方程是量子力学最重要的方程之一,它可以给出不同相互作用势下体系波函数的演化。相互作用势的复杂形式使得薛定谔方程一般没有解析解。如何较准确地数值求解含时薛定谔方程,对许多物理问题有着重要意义。本文采用显式与隐式的方法求解薛定谔方程。从结果可以发现,隐式的方法得到的波函数精度远高于显式方法,且误差具有收敛性。为了进一步探索隐式格式的可行性,本文还采用有限温度下的屏蔽势,利用隐式方法具体求解粲夸克偶素的波函数演化。

一类非线性薛定谔方程解的爆破

考虑非线性薛定谔方程i∂_(t)u=-Δu+i(-t)^(a(p-1))|u|^(p-1)u,这里p>1,满足(n-2)(p-1)≤4,a≥0是已知实数,(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),u=u(t,x)是未知的复值函数.第一,证明了反向方程解的整体适定性;第二,构造了所研究方程的一个近似解,主要想法是构造一个显函数Ф(t,x)=(C(-t)^(a(p-1)+1)+φ(x))^(1/(p-1)),其中C=(p-1)/[a(p-1)+1],(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),且函数Φ满足常微分方程Φ_(t)=(-t)^(a(p-1)|Φ|p-1)Φ,对φ加以一系列假设,使得当t→0^(-)时,‖Φ‖L^(2)(R)^(n)→∞;第三,利用能量方法及已知不等式对误差项进行估计;第四,利用紧致性理论找到了一个逼近近似解Φ的解析解,利用对近似解的估计证明最终的爆破结果.