一些半正定矩阵的迹不等式及相关的Richard Bellman问题

本文证明了一些有关半正定矩阵的迹不等式,对Richard Bellman在[1]中提出的问题给了一个肯定的回答,并给出了一些猜想。由于解决的方法是初等的而更具有普遍意义。主要结果是:

关于矩阵Khatri-Rao积的一些迹不等式

分别给出了半正定矩阵Khatri-Rao积和Hermitian矩阵Khatri-Rao积的迹不等式.

自共轭四元数矩阵的特征及迹不等式的两个充要条件

研究自共轭四元数矩阵的性质,给出了自共轭四元数矩阵的一个判别法和对角线上元素的特征;证明了自共轭四元数矩阵迹不等式的两个充要条件.

关于矩阵迹不等式的几个充要条件

主要得到了关于实矩阵迹不等式的两个充要条件,并把所得结果推广到复矩阵情形。

关于矩阵迹不等式的研究

本文首先阐述了预备知识和定义与引理,接着讨论了Hermite矩阵迹的若干性质和两个定理,最后分析了矩阵迹的应用。因此本文具有深刻的理论意义和广泛的实际应用。

一些迹不等式的若干结论(英文)

目的如果Si(i=1,…,n)是密度矩阵,π={πi}in=1是一个概率分布,并且A(0)≡∑ni=1πiSi12是可逆的,那么Tr[{∑nj=1πjSj(logSj)2}-A(0)-1{∑nj=1πjH(Sj)}2]≥0,其中H(x)=-xlogx,这是Yanagi证明的不等式的一个推广。方法利用Caushy-Schwarz不等式,Jensen's不等式和迹的一些性质来证明。结果这些涉及矩阵和对数的不等式给出了由Yanagi提出的开放问题的部分解答。结论因为这些结论仅仅是特例,所以在此基础上可做进一步的研究。

量子信息中的一些迹不等式

为了证明对于Si是2阶密度矩阵,π={πi}in=1是概率分布,且矩阵A(s)≡∑i=1 n πiS11+si是可逆的,那么对任意0≤s≤1,H(x)=-xlogx,有Tr[A(s)s{∑j=1 n πjS11+sj(logS11+sj)2}-A(s)-1+s{∑j=1 n πjH(S11+sj)}2]≥0.可以利用cauchy-schwarz不等式,Jensen不等式和迹的一些性质来证明。结果表明这些涉及矩阵和对数的不等式给出了由K.Yanagi提出的开放问题的部分解答。因为这些结论仅仅是特例,所以在此基础上可以作进一步的研究。

量子信息中的Yanagi迹不等式

设ρ和X是自伴矩阵,广义斜信息Sf,g(ρ,X)=Tr[f(ρ)Xg(ρ)X]-Tr[f(ρ)g(ρ)X2]在给定连续实值函数f和g的条件下,Sf,g是正的或者负的。利用这个很重要的结论,可以证明Yanagi迹不等式,即若A和B是正定矩阵,则对于任意的实数0≤s≤1的条件下Tr{(A+B)s[A(logA)2+B(logB)2]-(A+B)s-1(AlogA+BlogB)2}≥0.

关于矩阵的偏迹不等式

本文给出了复矩阵的ｋ──项复合矩阵的偏迹不等式：其中Ａ，Ｂ为ｎ阶半正定Ｈｅｒｍｔｅ矩阵，Ａ＿１，Ａ＿２，…，Ａ＿ｍ．（ｍ≥２）为ｎ阶复矩阵，ｉ＝１，２，…，ｒ为自然数．

基于Hadamard乘积下的矩阵迹的几个不等式

研究了基于Hadamard乘积下矩阵迹的几个不等式,如Bellman型不等式、Young型不等式及其他几个不等式。得到主要结论:Bellman型不等式,设A,B∈Hn×n≥0,n为正整数,则tr(A。B)n=tr(An。Bn)≤trAn·trBn≤(trA)n·(trB)n;Young型不等式,设A,B∈Hn×n≥0,p>1,q>1,1/p+1/q=1,则tr (A。B)≤1/ptrAp+1/qtrBq。

关于斜Hermite矩阵乘积之迹的不等式

设A ,B为斜Hermite阵 ,证明了如下不等式 :(1)tr(AB) m≤tr(AmBm) ,其中m为正偶数 ;(2 )tr(AB) m≥tr(AmBm) ,其中iA与iB为非负定阵 ,m为正奇数 .

关于复矩阵迹的Cauchy,Jensen不等式

R.Bell man提出了“类似于算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式”是否成立的问题,文证得了这个结论。本文对于任意多个复矩阵,证得了类似于Cauchy不等式、Jensen不等式的矩阵迹不等式。主要结论是:(1)∑mi=1tr∏2j=1Aij2≤∏2j=1∑mi=1tr(AijAi*j)212(2)∑mi=1tr∏2j=1Aij2≤∏2j=1∑mi=1tr(AijAi*j)(3)∑mi=1tr(Asi)1s≤∑mi=1tr(AiAi*)21r1r(4)∑mi=1tr(Asi)1s≤∑mi=1tr(AiAi*)2r1r其中Aij,Ai∈Cn×n,0<r<s。

关于复矩阵迹的算术——几何平均不等式

证明了比R .Bellman提出的“类似于算术 -几何平均不等式的矩阵迹不等式”在形式上更接近算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式 ｜tr( mk =1Ak) ｜1 /m ≤ 1m mk =1trAk 且证明了更一般的结论及相关重要结果｜tr( mk=1Atkk)｜1 /Tm ≤ 1Tm mk=1tk·tr(AkA k) 1 / 2 和｜ ti=1tr( mk=1A(i)k )｜≤ mk=1{ ti=1[tr(A(i)k A(i) k ) αk/ 2 ]βi/αk} 1 / βi,其中Tm = mk =1tk,tk,αk,βi 是正整数 , mk =1α-1k ≥ 1 , ti=1β-1i ≥ 1 .

矩阵指数的偏迹不等式

§1引言设C是n阶复数矩阵,记Ck是C的k-项复合矩阵（k=1,2,…,n）,即Ck是一个N阶矩阵,N=（?）,它的元素是由C中的所有k阶子式所组成,足标由C的行标和列标用字典排序决定（见[4],或[5]241—242,或[6]19—20）.记C*是C的共轭转置矩阵,即C*=（?）.C的复合矩阵Ck有如下性质.

关于规范矩阵乘积迹的不等式

本文在A_1,A_2,…,A_m为规范矩阵的条件下,证明了不等式且不等式(1,2)成立的条件只要求A_1,A_2,…,A_m是Hermite矩阵。

《关于Hermite矩阵迹的一个不等式》的一个注记

设A、B均为Hermite矩阵或者均为反Hermite矩阵,本文用简洁方法证明了(AB)2 的迹不大于A2 B2的迹。

关于Poincare不等式

给出单位正方形及直角梯形上的Poincare不等式和迹不等式的精细式和证明,从而纠正了已有文献的错误或不足。这些不等式在处理不满足正则性剖分假设的窄边四边形单元的插值误差时起着重要作用。

窄边四边形插值定理的优化

Zenisek等人给出了窄边四边形上的双线性插值定理 ,但是误差估计式中的常数不是最优的 .首先给出Poincar啨不等式和?坏仁降母慕问?,并通过证明过程的精细估计 ,给出了窄边四边形插值定理优化形式 ,优化定理中的常数比原来相应常数小得多 (约为原来常数的 1/ 2～ 1/ 5 ) .

三维静磁场Robin问题的变分原理

利用非线性单调算子理论证明了由作者在另一篇论文中给出的三维静磁场Robin问题的变分原理