一个Erdos关于欧拉函数的猜想证明

设n是有限正整数,定义欧拉函数ψ(n)表示序列0,1.2......,n-1中与n互质的的数的个数。关于ψ(n)函数有许多著名的猜想,在[1]中Erdos关于欧拉函数提出如下猜想:对于所有的n,都有ψ(n)>ψ(n-ψ(n))成立.1991年,Luca[2]中证明了对于部分整数Erdos,猜想成立。同时证明了对于无限大整数,都有ψ(n)<ψ(n-ψ(n))成立。1992年,Luca用组合数中证明了Erdos的这一猜想,文本继续上述研究工作。用不财的方法证明了这一猜想.

关于二项式系数的一个Erds猜想

利用初等方法,部分地解决了Erd o_s的下列猜想,对于二项式系数2n n,当n>4时,它决不是无平方因子的数。。

关于Erd■猜想的证明

文章对Erd■猜想中正整数n的值进行分类,除了n为4m-3(m=6R+1)形的奇数外,逐类直接给出了具体表示。对于n为4m-3形的奇数,文章采用命题转化法及反证法,并用自变量与函数值的一一对应关系证明了Erd■猜想成立。

Erd■s一个猜想的注记

当ｋ≥２，２ｋｎ＋１＝ｑｈ，ｑ≡－１（ｍｏｄ２ｋ），丢番图方程４／ｎ＝ｘ－１十ｙ－１＋ｚ－１有正整数解；当方程中ｎ换以素数Ｐ，则Ｐ存疑的条件是Ｌｅｇｅｎｄｒｅ符号有（Ｐ／３）＝（Ｐ／５）＝（Ｐ／７）＝（Ｐ／１１）＝（Ｐ／１３）＝（Ｐ／１７）＝１．

Erds-Turn猜想与相关的问题

设N是所有非负整数所成的集合,对于A■N,用R(A,n)表示方程n=a+b,a,b∈A的解数.著名的Erds-Turn猜想为:如果对所有非负整数n,总有R(A,n)≥1,则R(A,n)一定无界.本文简单介绍了Erds-Turn猜想的进展,同时证明了Erds-Turn猜想在有理数域上关于加法和乘法(乘法不含零)均不成立.如关于乘法,本文证明了如下结论:存在非零有理数集的一个子集A,使得每个非零有理数均可以唯一地(不考虑次序)表成A中两个数的乘积.最后,本文提出了7个未解决的问题供进一步研究.

与Erds猜想相关的问题

Erds曾提出下面猜想:对实直线的任何无限子集A,必存在正测度的可测集M,它不包含A的任何相似集.

关于abc猜想

证明了:存在无穷多组正整数(a,b,c)满足a+b=c,gcd(a,b,c)=1,c>32G,其中G是乘积abc中不同素因数的乘积.

Erds猜想对某些素数的结论及其它

本文证明了,对一些特殊类型的素数P,有一素数q<P,是P的原根。即,对这些素数P,Erdos猜想是肯定的。其次,我们完善了作者的结论,证明了:任意n个两两互素的,都不是完全平方数的n个自然数a_1,a_2,…,a_n,必存在无限多个奇数p,使a_1,a_2,…,a_n都是模p的二次非剩余。

关于丢番图方程x(x+1)=Dy^(3)

设p为素数 ,证明了丢番图方程x(x+ 1) =Dy3在D=p 1(mod 3)时仅有解 (p ,x ,y) =(2 ,1,1) ,(2 ,- 2 ,1) ,(17,5 831,12 6 ) ,(17,- 5 832 ,12 6 ) ;在D =2p ,p≡ 2 ,3,5 (mod 9)时仅有解 (x ,y ,p) =(2 ,1,3) ,(- 3,1,3) ;在D =4p ,p=5或p≡ 2 ,3(mod 9)时仅有解 (p ,x ,y) =(3 ,3,1) ,(3,- 4,1) ,(5 ,4,1) ,(5 ,- 5 ,1) ,(5 ,6 85 9,133) ,(5 ,- 6 86 0 ,133)。

关于除数函数d_k(n)的一个注记

设dk(n)为k重除数函数 (k≥ 2 )。证明了 :对充分大正数x ,同时使等式组 {dk(n) =dk(n + 1) ,k≥ 2 }成立且不超过x的n的个数为 x(loglogx) -2 .5。

关于丢番图方程x(x+1)=Dy^4

设P为素数 ,本文用初等数论方法 ,证明了丢番图方程x(x +1 ) =Dy4 在D =2P ,P≡± 5,7,1 3 (mod1 6)和D =8P ,P≡± 3 (mod8)时均无正整数解 ;在D =P ,P 1 (mod1 6)时仅有正整数解 (D ,x,y) =( 2 ,1 ,1 ) ,( 5,80 ,6) ;在D =4P时仅有正整数解 (D ,x ,y) =( 1 2 ,3 ,1 ) ,( 2 0 ,4 ,1 ) .

关于丢番图方程x(x+1)=Dy^6

设 p为素数 ,本文证明了丢番图方程 x( x+ 1 ) =Dy6在 D=p时仅有正整数解 ( p,x,y) =( 2 ,1 ,1 ) ;在 D=2 p,p ± 1 ,± 1 7,1 9( mod72 )时仅有解( p,x,y) =( 3,2 ,1 ) ;在 D=4p,p 1 ,5 ,37,41 ( mod 72 )时仅有正整数解 ( p,x,y) =( 3,3,1 ) ;在 D=8p时仅有解 ( p,x,y) =( 7,7,1 ) ;在 D=1 6 p,p 1 ,1 7( mod72 )和 D=32 p,p ± 1 ,31 ( mod32 )时均无正整数解 .

关于单位分数的丢番图方程

给出了某些单位分数丢番图方程的一般解,并给出了丢番图方程sum from i=1 to n(1/(x_i))=(a/b),(a,b)=1存在整数解的一个充要条件.

关于整数n与n＋1的最大素因子

给出了如下结果的一个直接（新）的证明：对任给的ε＞０，总存在无穷多个正整数ｎ，使得Ｐ（ｎ）＞ｎ１－ε，Ｐ（ｎ＋１）＞ｎ１－ε．

关于Diophantine方程(4/n)=(1/x)+(1/y)+(1/z)

利用分数的单位分数分拆技巧,讨论了Diophantine方程4/n=1/x+1/y+1/z,证明除了mod 840的11个剩余类的例外情形,Erdos猜想成立。

Erds—Mordell定理的一个简证

1935年,Faul Erdos猜想,对三角形ABC内(或其边界上)任一点I、从I到各顶点的距离之和至少二倍于从I到△ABC各边的距离之和、他更进一步地猜想,等号的情况成立当且仅当△ABC是等边的且I为其外接圆心虽然这猜想是极易阐明的,但第一个证明却是到1937年才由L·J·Mordell所给出,并且一点没用初等方法第一个初等证法是在1945年由D·K·Kazarinoff给出,但其证明之繁杂以致于看起来有矫柔造作之感.本文的目的,就是给一个对大学生来讲既自然又易于接受的证明.

关于素数模的素数二次非剩余(Ⅰ)

本文讨论了素数模P的一简化剩余系1,2,……,P—1中素数二次非剩余的个数,获得了一个均值不等式.

通讯频道的Shannon容量,图的Ramsey数和Erds的一个猜想

简要介绍通讯频道的Shannon容量和图的Ramsey数的联系, 期望引起通讯理论研究者和图论研究者对问题的关注; 讨论了Erds的一个与此紧密关联的猜想的研究现状.