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Generalized Trigonometric Power Sums Covering the Full Circle
1
作者 Hans Jelitto 《Journal of Applied Mathematics and Physics》 2022年第2期405-414,共10页
The analytical calculation of the area moments of inertia used for special mechanical tests in materials science and further generalizations for moments of different orders and broader symmetry properties has led to a... The analytical calculation of the area moments of inertia used for special mechanical tests in materials science and further generalizations for moments of different orders and broader symmetry properties has led to a new type of trigonometric power sums. The corresponding generalized equations are presented, proven, and their characteristics discussed. Although the power sums have a basic form, their results have quite different properties, dependent on the values of the free parameters used. From these equations, a large variety of power reduction formulas can be derived. This is shown by some examples. 展开更多
关键词 Trigonometric power sum power Reduction Formula Trigonometric Identity Central Binomial Coefficient
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Selection of Coherent and Concise Formulae on Bernoulli Polynomials-Numbers-Series and Power Sums-Faulhaber Problems
2
作者 Do Tan Si 《Applied Mathematics》 2022年第10期799-821,共23页
Utilizing the translation operator to represent Bernoulli polynomials and power sums as polynomials of Sheffer-type, we obtain concisely almost all their known properties as so as many new ones, especially new recursi... Utilizing the translation operator to represent Bernoulli polynomials and power sums as polynomials of Sheffer-type, we obtain concisely almost all their known properties as so as many new ones, especially new recursion relations for calculating Bernoulli polynomials and numbers, new formulae for obtaining power sums of entire and complex numbers. Then by the change of arguments from z into Z = z(z-1) and n into λ which is the 1<sup>st</sup> order power sum we obtain the Faulhaber formula for powers sums in term of polynomials in λ having coefficients depending on Z. Practically we give tables for calculating in easiest possible manners, the Bernoulli numbers, polynomials, the general powers sums. 展开更多
关键词 Bernoulli Numbers Bernoulli Polynomials powers sums Zeta Function Faulhaber Conjecture
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The Powers Sums, Bernoulli Numbers, Bernoulli Polynomials Rethinked 被引量:1
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作者 Do Tan Si 《Applied Mathematics》 2019年第3期100-112,共13页
Utilizing translation operators we get the powers sums on arithmetic progressions and the Bernoulli polynomials of order munder the form of differential operators acting on monomials. It follows that (d/dn-d/dz) appli... Utilizing translation operators we get the powers sums on arithmetic progressions and the Bernoulli polynomials of order munder the form of differential operators acting on monomials. It follows that (d/dn-d/dz) applied on a power sum has a meaning and is exactly equal to the Bernoulli polynomial of the same order. From this new property we get the formula giving powers sums in term of sums of successive derivatives of Bernoulli polynomial multiplied withprimitives of the same order of n. Then by changing the two arguments z,n into Z=z(z-1), λ where λ designed the 1st order power sums and proving that Bernoulli polynomials of odd order vanish for arguments equal to 0, 1/2, 1, we obtain easily the Faulhaber formula for powers sums in term of polynomials in λ having coefficients depending on Z. These coefficients are found to be derivatives of odd powers sums on integers expressed in Z. By the way we obtain the link between Faulhaber formulae for powers sums on integers and on arithmetic progressions. To complete the work we propose tables for calculating in easiest manners possibly the Bernoulli numbers, the Bernoulli polynomials, the powers sums and the Faulhaber formula for powers sums. 展开更多
关键词 BERNOULLI Numbers BERNOULLI POLYNOMIALS powerS sumS Faulhaber CONJECTURE Shift OPERATOR OPERATOR Calculus
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The Formula of General Term of the Sum of Equal Powers of Natural Numbers
4
作者 高英敏 杨志忠 《Chinese Quarterly Journal of Mathematics》 CSCD 1999年第2期21-27, ,共7页
The formula of general term of the sum of equal powers of natural numbers.
关键词 the sum of equal powers of natural numbers Abel change sequence of number of arithmetic of higher order
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自然数等幂和sum (k^m) from k=1 to n计算的新方法 被引量:1
5
作者 刘雁鸣 《湖北民族学院学报(自然科学版)》 CAS 2012年第3期260-262,共3页
自然数等幂和问题一直受到国内学者的普遍关注,应用多项式空间的差分来计算自然数等幂和sum (k^m) from k=1 to n,是解决该问题的一个新思路.
关键词 自然数 等幂和 差分
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关于等幂和sum from i=1 to k(i^n) 被引量:2
6
作者 牟善志 刘华 《天津职业技术师范学院学报》 2003年第1期15-16,18,共3页
证明了每一个等幂和sum from n=1 to ∞(i^n)(n为自然数)都可以表成k的n+1次多项式f_n(k),并给出了f_n(k)关于n的一个递推公式。
关键词 等幂和 递推公式 多项式 自然数 定理
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基于Min-Sum-MSE的多用户MIMO训练序列与数据功率联合优化
7
作者 王丽 胡捍英 +1 位作者 唐其辉 张建安 《电路与系统学报》 CSCD 北大核心 2011年第3期44-49,共6页
本文研究了多用户MIMO系统中基于Sum-MSE最小准则预编码的训练序列与数据联合功率分配问题。考虑信道空间相关性,采用MMSE准则进行信道估计,在训练序列与数据总功率一定的条件下,通过分析上下行链路存在MSE对偶性,将下行Sum-MSE最小化... 本文研究了多用户MIMO系统中基于Sum-MSE最小准则预编码的训练序列与数据联合功率分配问题。考虑信道空间相关性,采用MMSE准则进行信道估计,在训练序列与数据总功率一定的条件下,通过分析上下行链路存在MSE对偶性,将下行Sum-MSE最小化转化为上行Sum-MSE最小化问题。然后推导了在发送端存在相关性时该功率联合优化的闭式解。相关性越强或者平坦块衰落块长度越长,分配给训练序列的总功率就越多。仿真结果也表明,这种联合功率分配在相关信道及非相关信道下,其系统的平均BER性能方面均优于数据、训练序列平均功率分配时的性能。 展开更多
关键词 多用户MIMO 功率分配 sum-MSE最小准则 MMSE信道估计
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关于丢番图方程sum from k=0 to n-1([1+(80s+35)k]~r=[1+(80s+35)n]~r)
8
作者 及万会 《张家口师专学报(自然科学版)》 1994年第1期5-11,共7页
用初等方法证明了以下结果:当n,r为正整数、s为非负整数时,丢番图方程无整数解。
关键词 连续数方程 末位数字 方幂和 同余式 整数解 丢番图方程
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丢番图方程sum from k=0 to n-1 of (x+d_2k)~r=(x+d_2n)~r
9
作者 及万会 官占涛 《西南民族学院学报(自然科学版)》 1996年第3期261-265,共5页
证明了当n,x,r为正整数且r>3,s为非负整数,(Ⅰ)r为奇数,d2=40s+2,22.(Ⅱ)r为偶数,d2=40s+12,d2=80s+22,42gcd(x,d2)=1。
关键词 连续数方程 方幂和 同余式 丢番图方程
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和式sum from k=o to n(μ~kf(k))的发生函数算法
10
作者 李志荣 《大学数学》 北大核心 2006年第2期100-104,共5页
利用普通幂级数发生函数方法,通过对发生函数进行xD算子,得到和式∑k=0μkf(k)的计算公式,并计算该类和式.
关键词 和式 普通幂级数 发生函数 算法
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S_n^(k)=sum from m=1 to n (m^k)的显式表示
11
作者 吴红红 郭田德 《曲阜师范大学学报(自然科学版)》 CAS 2002年第3期47-50,共4页
给出了n个自然数k次乘幂之和 ,S(k)n ≡ nm =1mk
关键词 乘幂 显式表示 分部求和法 数学归纳法 多项式表示 数学分析 分部积分法
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关于级数Sum from i=1 to n () i^k的求和及其贝努里数的计算
12
作者 朱起静 《武陵学刊(自然科学版)》 1998年第3期1-4,共4页
本文从有限差理论出发,给出了■的求和方面递推公式,定理的证明比前人简捷,并顺便导出贝努里的递推公式。
关键词 级数 方幂和 伯努利数 求和公式 多项式系数
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求sum from i=1 to n i^k的简便递推公式
13
作者 潘晓东 《台州师专学报》 1995年第3期10-13,共4页
寻找求sum from i=1 to n i^k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n^(k+1)=(k+1)[integral from n=0 to n(S^k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S^k(x)ds)。其中... 寻找求sum from i=1 to n i^k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n^(k+1)=(k+1)[integral from n=0 to n(S^k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S^k(x)ds)。其中S^k(x)是S_n^k=sum from i=1 to i^k的派生函数。 展开更多
关键词 自然数幂 常数列 派生函数
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关于丢番图方程sum from k=0 to (n-1) (1+2k)~r=(1+2n)~r
14
作者 及万会 《衡阳师范学院学报》 1992年第3期57-62,共6页
本文证明了,当 r,n 为正整数,方程 sum from k=0 to n-1(1+2k)~=(1+2n)
关键词 方幂和 末位数字 同余式
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幂级数sum from n=1 to ∞ (x^(2n)/(2n)~k)和函数的递推公式及其应用
15
作者 张锦来 《延边大学学报(自然科学版)》 CAS 2008年第2期91-92,共2页
根据收敛级数的分析性质研究了幂级数sum from n=1 to ∞ (x^(2n)/(2n)~k)(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值.
关键词 归纳法 幂级数 和函数 递推公式
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幂级数sum from n=1 to ∞(f(n)x^(n-1))的一个求和公式
16
作者 邢华 《内蒙古财经学院学报(综合版)》 2005年第1期95-96,共2页
设f(t) =a0 +a1t +a2 t2 +… +amtm 为m次多项式 ,本文利用差分方法给出了幂级数 ∞n =- 1f(n)xn-1的一个求和公式 ,结果为当 |x|<1时 ∞n =1f(n)xn-1=f(0 )1-x+ mj =1xj-1(1-x) j+ 1△jf(0 )
关键词 阶乘函数 分部求不定和公式 和函数
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求和公式sum from k=0 to n (k^mr^k~c_n^k)的证明
17
作者 霍曙明 《安阳工学院学报》 2011年第4期60-62,共3页
本文以高级导数的方法简捷地推导出了sum from k=0 to n (k^mrk^c_n^k)求和公式,从而扩展了等幂迭乘和的表示范围,同时得出了r=1、-1、e1θ时的特别结论.
关键词 高级导数 等幂迭乘和 求和公式
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Super Congruences Involving Alternating Harmonic Sums
18
作者 Zhongyan Shen Tianxin Cai 《Advances in Pure Mathematics》 2020年第10期611-622,共12页
Let <em>p</em> be an odd prime, the harmonic congruence such as <img alt="" src="Edit_843b278d-d88a-45d3-a136-c30e6becf142.bmp" />, and many different variations and generalizatio... Let <em>p</em> be an odd prime, the harmonic congruence such as <img alt="" src="Edit_843b278d-d88a-45d3-a136-c30e6becf142.bmp" />, and many different variations and generalizations have been studied intensively. In this note, we consider the congruences involving the combination of alternating harmonic sums, <img alt="" src="Edit_e97d0c64-3683-4a75-9d26-4b371c2be41e.bmp" /> where P<em><sub>P </sub></em>denotes the set of positive integers which are prime to <em>p</em>. And we establish the combinational congruences involving alternating harmonic sums for positive integer <em>n</em>=3,4,5. 展开更多
关键词 Bernoulli Numbers Alternating Harmonic sums CONGRUENCES Modulo Prime powers
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个人信息的内生安全机制及其实现 被引量:3
19
作者 崔聪聪 《东方法学》 CSSCI 北大核心 2024年第1期96-107,共12页
个人信息处理的技术性、隐蔽性,使自上而下的“命令式”监管范式失效。数字时代,个人信息治理的重点是防止个人信息处理者滥用数据权力威胁国家安全、盘剥和操控个体。为有效控制数据权力这一风险源,国家应当督促个人信息处理者建立健... 个人信息处理的技术性、隐蔽性,使自上而下的“命令式”监管范式失效。数字时代,个人信息治理的重点是防止个人信息处理者滥用数据权力威胁国家安全、盘剥和操控个体。为有效控制数据权力这一风险源,国家应当督促个人信息处理者建立健全涵盖制度保障、组织程序保障的个人信息内生安全机制。通过监管激活个人信息处理者内部的自我规制机制,增强其内部的组织控制和行为规范化程度,消减个人信息处理的负外部性,实现个人信息处理的正和博弈。通过监管督促个人信息处理者强化内部治理机制,严格落实个人信息保护影响评估制度,遵从“三同步”要求将个人信息保护法规定的各项义务嵌入产品“代码”中,防控个人信息处理过程中妨害个人自主性、减损人格尊严的风险。 展开更多
关键词 个人信息处理 内生安全 负外部性 正和博弈 自我规制 数据权力
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广义Kloosterman和及它的四次均值
20
作者 崔俊峰 王丽 《纺织高校基础科学学报》 CAS 2024年第3期102-106,共5页
为了研究对任意素数模p的一类广义Kloosterman和的四次均值,利用初等与解析方法、Gauss和以及三角和的转换性质引入了当素数p≡1 mod 4时该均值的计算问题,并将该类均值转化为特征和的简易形式。从计算结果上对均值的估计具有充分性,从... 为了研究对任意素数模p的一类广义Kloosterman和的四次均值,利用初等与解析方法、Gauss和以及三角和的转换性质引入了当素数p≡1 mod 4时该均值的计算问题,并将该类均值转化为特征和的简易形式。从计算结果上对均值的估计具有充分性,从计算方法上对广义Kloosterman和各种形式的四次均值研究具有重要的参考价值。此外,这也为指数和均值计算问题提供了一种新的转化思路与方法,必将对有关问题的进一步探索起到推动作用。 展开更多
关键词 广义Kloosterman和 四次均值 解析方法 简化形式
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