Analysis and Application of Multiple-Precision Computation and Round-off Error for Nonlinear Dynamical Systems

This research reveals the dependency of floating point computation in nonlinear dynamical systems on machine precision and step-size by applying a multiple-precision approach in the Lorenz nonlinear equations. The paper also demoastrates the procedures for obtaining a real numerical solution in the Lorenz system with long-time integration and a new multiple-precision-based approach used to identify the maximum effective computation time （MECT） and optimal step-size （OS）. In addition, the authors introduce how to analyze round-off error in a long-time integration in some typical cases of nonlinear systems and present its approximate estimate expression.

一维平流方程迎风格式的最优时空步长

在考虑舍入误差影响的情况下,研究一维平流方程迎风格式最优时空步长的选取.首先,分析每一时间层产生的离散误差和舍入误差,以及2种误差向高时间层传播的累积,得到数值解总误差的理论上界;然后推导出最优时间步长和最优空间步长的理论公式,进而得到2种不同机器精度下最优时间步长之比满足的一个仅与机器精度有关的普适关系;最后通过数值算例验证了结论的可靠性.

基于GPU的数字下变频累积误差控制方法

针对数字下变频系统中高速数据处理实时性需求,设计了基于中央处理器(central processing unit,CPU)+图形处理单元(graphic processing unit,GPU)的异构平台数字下变频处理算法,并完成了相应并行程序设计,进行了实际数据验证。鉴于GPU运算采用单精度浮点数格式进行数据处理,进行长时程数据处理过程中,会产生浮点数舍入误差累积,导致结果的不准确不可靠,设计了联合相位循环归零法和无误差变换补偿法,实现了浮点数舍入误差的控制与补偿。数据测试结果表明,所提方法可将相位误差控制在10-11rad以内,且不随时间累积,计算结果准确可靠。

同位素年代学数据处理技术及常见问题解析

同位素年代学数据处理是同位素年代学研究的重要环节之一,是获得可靠年龄的基本保证。数据处理过程涉及等时线及U-Pb不一致线、反等时线等直线的拟合,年龄计算过程中分析数据不确定度的设定、加权平均计算,以及假等时线的识别等诸多环节。本文介绍了常用同位素年代学数据处理程序Isoplot的使用技巧;并对数据处理过程中涉及的线性回归、等时线质量的判断及常见问题提出一些见解,以期对同位素年代学的研究有所助益。

舍入误差对大气环流模式模拟结果的影响

此文旨在研究气候数值模式的长期计算时受舍入误差的影响。通过对大气环流谱模式SAMIL采用不同CPU数计算时获得的长时间积分结果进行分析，发现使用不同CPU数进行单精度计算时，其十年平均月平均500hPa高度场随机误差在正负6～8gpm范围内，而使用双精度计算时相应的误差为正负3～4gpm。对于气候平均场而言，作者的试验表明SAMIL在并行计算时由于计算顺序改变而引起的误差在可接受范围之内。然而，虽然舍入误差的全球平均值不大，但其误差分布的差别范围并不小。数值试验得到的不同模拟结果之间误差大小与模拟结果的自身年际变化大小在同样的量级，因此对于“年际变化”这样的问题来说，其影响是不可忽略的，必须要使用集合预报的办法来减小误差的影响。文中列出了3种研究复杂数值模式舍入误差的实验方法，指出其一定条件下的等效性和不同适用范围，对于其他模式的舍入误差影响研究有一定的参考价值。在舍入误差分析的基础上，介绍了一种新型的专门针对舍入误差的集合预报方法（舍入误差平均集合，RME），指出了其在气候模拟研究中的应用价值。

数值积分过程中截断误差和舍入误差的分离方法及其效果检验

本文讨论数值积分过程中截断误差和舍入误差的分离方法和理论,解析地给出某些数值计算方法的理论截断误差,并以此来分离计算结果中的误差。然后引入参考解的办法,用来分离更为一般的微分方程求解过程中的截断误差和舍入误差。以参考解算法为基础,对一个偏微分方程的数值解进行计算,所得结果与采用理论截断误差得到的结果进行了对比,发现:(1)当使用迎风差和中央差格式时,理论截断误差和近似截断误差在数值上高度一致,说明了参考解方法的正确性;(2)对于一阶的波动方程,迎风差和中央差格式的理论截断误差在形式上也具有波动的周期特征,振幅的大小与计算参数有关;(3)理论截断误差可以适用于任意t时刻,而近似截断误差的适用时间范围为一个有限的时间段,不过它可以很容易的获取一般微分方程的截断误差,而不需要复杂的理论推导。

面向飞腾处理器的多线程可复现DGEMV设计与实现

在高性能计算中,求解大规模、大尺度、长时程和病态问题过程中舍入误差的累计都可能会使算法的最终数值结果失真。在不同的计算软硬件资源下,每次运行的结果可能不一致,而这些结果是开发者调试程序和正确性检查的重要依据,会对科研工作的顺利进行造成干扰,因此算法数值结果的可复现性变得至关重要。文中面向飞腾处理器,基于OpenBLAS软件框架,结合美国伯克利国家实验室的Demmel教授团队开发的ReproBLAS软件中提出的可复现的方法与Castado提出的多层分块技术,使用舍入误差分析和无误差变换等技术,设计出了多线程可复现DGEMV的算法。数值实验显示,所提算法实现了数值计算的可复现性,且输出结果与ReproBLAS相同,验证了所提算法的可靠性。同时,所提算法在相同的测试环境下运行速度至少是ReproBLAS实现算法运行速度的2倍。此外,还将所提算法与日本理化研究所Mukunoki提出的OzBLAS中的可复现DGEMV函数进行对比,同为单线程时该算法的运行速度至少是OzBLAS算法的20倍,在相同多线程数量情况下,该算法的运行速度至少是OzBLAS算法的9倍。理论分析和数值实验均表明,该改进算法比国际上现有的可复现数值算法性能更优。

多精度计算和区间分析方法在科学计算中的应用

介绍了多精度计算和区间分析的概念、方法及应用,使用多精度计算研究Lorenz非线性动力系统计算结果对计算精度、步长的敏感依赖关系和不确定现象,研究Lorenz系统中长时间数值解的计算方法和基于多精度计算的最优步长、最大有效计算时间搜索方法,讨论了区间分析方法在计算机辅助证明Lorenz混沌吸引子存在性问题中的应用。

四元数计算舍入误差的概率分析

对捷联式制导系统中四元数微分方程数值求解舍入误差进行概率分析。首先，对于定点计算机上四元数计算的舍入误差建立了概率模型，然后对舍入误差进行概率估计。

线性相位频率取样FIR滤波器量化误差的分析

主要分析了线性相位频率采样FIR滤波器中的量化噪声 ,并给出计算公式 .

PSWF非正弦时域正交调制系统有限字长效应研究

在基于PSWF的非正弦数字通信中,二进制定点数的截尾误差与舍入误差对系统的性能影响不容忽视。首先分析了二进制定点数产生有限字长效应的原因,接着对二进制定点数的截尾误差与舍入误差进行了理论分析,同时,利用MATLAB针对PSWF通信系统中的具体参数进行了误差仿真,归纳与总结了仿真结果,可为工程应用提供参考。

基于旋转矩阵的加密解密算法

利用舍入误差分析的方法及计算机浮点运算的特性,构造一种基于旋转矩阵的加密解密算法,并提出了保证算法有效的充分条件.应用实例验证了算法的可行性.

正交多项式的并行算法修正及其稳定性分析

通过修正求解Chebyshev多项式的Clenshaw和Forsythe算法,提出了求解一般正交多项式的两种并行算法。并通过讨论这两种并行算法矩阵形式的舍入误差,对它们的稳定性进行了分析。

利用大气环流模式讨论舍入误差对东亚和西北太平洋夏季气候模拟的影响

采用单精度和双精度编译的大气环流模式对东亚以及西北太平洋气候进行集合模拟,分析舍入误差对大气环流模式在东亚和西北太平洋区域夏季气候模拟的影响,结果表明采用双精度编译的模式在850 hPa环流场比单精度模式模拟效果要好。为了进一步分析双精度模式模拟效果优于单精度模式的原因,集中研究了850 hPa纬向风场的模拟情况。结果表明,双精度模式对东亚以及西太平洋850 hPa纬向风场第1模态有着更好的模拟,而且第2模态的时间序列与再分析资料850hPa纬向风场的第2模态时间序列有着更好的相关。这些结果表明,由于舍入误差的影响使得该区域大气内部噪音更强烈,从而使得海温强迫导致的气候变率变弱,进而使得双精度编译的模式对东亚和西北太平洋区域气候的模拟要优于单精度模式。

数据舍入误差对大流量齿轮泵瞬时流量MATLAB仿真精度的影响

MATLAB仿真时数据计算存在舍入误差,影响仿真精度,导致仿真结果与实际情况不符,是仿真过程中容易忽略的问题,且在欠缺理论推导的情况下,该问题尤为严重。针对CB-B250型大流量齿轮泵瞬时流量进行了仿真,并对其进行了理论推导,针对首次仿真结果某些值与理论推导值存在约20%误差的情况,分析了引起问题的原因,并将二次仿真结果与首次结果进行了比较,指出了采用MATLAB仿真时的一些注意事项,给出了改进思路和方法。

光弹性确定复合型应力强度因子K_Ⅰ和K_Ⅱ的误差分析

复合型应力强度因子Ｋ＿Ⅰ和Ｋ＿Ⅱ的光弹性测定值是Ｋ＿Ⅰ和Ｋ＿Ⅱ的近似值．本文提出了影响Ｋ＿Ⅰ和Ｋ＿Ⅱ精确值的误差有模型误差、观察误差、截断误差、及舍入误差，并对前二项误差做了详细分析，指出了确定误差的方法和计算公式，提出了减小误差的途径．

本征真浑沌与误差赝浑沌——从舍入误差看浑沌运动

本文论述了浑沌的本质,并通过理论阐述和实际计算,论证了数值计算中舍入误差并不从根本上改变浑沌系统的本质特征。进而证明了在处理浑沌问题中数值计算的可靠性,以及浑沌随机性的内秉性(即浑沌的随机性不受舍入误差的影响)。作者指出,在实践中,周期是否真正达到无穷是次要的。不管用什么模型,只要能近似说明实际过程,在一段时间内能作出有限的预测就行。只要看它像浑沌,就可以试着用浑沌理论的一套方法去研究。如果有效,特别是比其他方法都好,绝对没有必要因其他问题而放弃用浑沌理论。数学上干干净净的浑沌本来就不存在,现实存在的才是活生生的、丰富的浑沌。

通过恒等变换计算多项式的出错原因分析

本文分别从舍入误差、截断误差、算法的稳定性等角度对恒等变换计算多项式的出错原因,进行了细致的分析。本文结果解释了在许多快速算法中,某些变换算子数值不稳定的原因。

求逆阵及解线性方程组的迭代算法

本文给出求可逆方阵的逆矩阵和利用线性代数方程组AX=b的系数矩阵A的一个初始近似逆阵P求解方程组的迭代算法,这种算法具有迭代格式简单,能有效地控制求解过程中的舍入误差的影响,灵活确定迭代次数等特点。

求逆阵及解线性方程组的迭代算法

本文给出求可逆方阵的逆矩阵和利用线性代数方程组AX=b的系数矩阵A的一个初始近似逆阵P求解方程组的迭代算法,这种算法具有迭代格式简单,能有效地控制求解过程中的舍入误差的影响,灵活确定迭代次数等特点。