利用“特征函数”命制与求解数列问题

1.初步感受利用特征函数在问题解决中的应用例1(1)已知数列{a n}满足a 1=1,a n+1=1 2 a n+1,证明:(ⅰ)1≤a n<2;(ⅱ)a n+1>a n.(2)已知数列{a n}满足a 1=3,a n+1=1 2 a n+1,证明:(ⅰ)2<a n≤3;(ⅱ)a n+1<a n.两个问题中的第一个问题都是对于数学归纳法的考察,对(1)(ⅰ)1≤a 1<2可设1≤a n<2,易得1≤a n+1<2;(2)(ⅰ)过程类似.

一种二次递推型通项放缩问题的设计与求解

运用放缩手段对数列问题进行分析,有助把握数列的单调性、有界性,也利于研究其前n项和是否收敛.本文中,从常见放缩方法、通项公式求解类型、"特征函数"出发,对二次递推型递推数列进行研究,找到了设计数学问题的一个角度与解题方法.

绝对值函数问题的思维起点捕捉

绝对值函数问题中蕴含着分类讨论、数形结合等数学思想,是数学核心素养养成的有效载体,在数学问题中,能够捕捉到绝对值问题的思维起点,有助学学生利用分段函数的观点,充分的理解基本初等函数的性质.

立足“平面向量基本定理”设计与求解相关问题

1.从参数含义的维度认识“平面向量基本定理”人教版数学必修四中将“平面向量基本定理”表述为“如果 e →\-1, e → 2是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a →,有且只有一对实数λ 1,λ 2,使a →=λ 1e → 1+λ 2e →\-2.本文对于这一定理的理解可以表述为“如果e → 1,e → 2是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a →,有且只有一对实数x,y,使a →=xe → 1+ye → 2.其中(x,y)为以e → 1,e → 2为x,y轴正方向单位坐标建立坐标系下对应的点坐标.

巧用位置关系解决多元函数求范围问题

例1已知函数f(x)=x 2+ax+b的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,求3a+2b的范围.通常采用“线性规划”的方式解决这一问题,过程如下:解法1:依题意可得如下可行域,f(0)=b>0,f(1)=1+a+b<0,f(2)=2a+b+4>0,画出可行域后可得3a+2b∈(-6,-3).笔者认为借助直线与曲线位置关系这一观点,可以对这一问题进行这样优化的解答:解法2:这一问题可以变形为-x 2=ax+b,指直线与二次函数所表示的抛物线分别在区间(0,1)和(1,2)内有交点(条件一).令g(x)=ax+b,则原式3a+2b=2g(3/2).

一类二次递推型通项放缩问题的设计与求解

运用放缩手段对数列问题进行分析,有助于把握数列的单调性、有界性,也利于研究数列的前n项和是否收敛.本文中,笔者从常见放缩方法、通项公式求解类型、"特征函数"出发,对二次递推型递推数列进行研究,找到了设计数学问题的一个角度与解题方法.