一道2023年预赛试题的多角度求解

2023年全国数学联赛山东省预赛试题中第6题是一道构思新颖别致,设问精巧,极具探究价值的填空题,经思考,笔者用不同的视角观察问题、分析问题,得到几个不同的解.

一道高考填空题的几个思维层次

题目：已知AC，BD为圆O：x^2＋y^2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为_____．这是2009年普通高等学校招生统一考试全国Ⅱ卷理科数学第16题，此题构思匠心独具，命题角度新颖、独特，内容丰富，有较为深刻的内涵．题目以直线与圆的方程为载体，以求圆内接四边形面积最大值为切入点，重点考查考生数学基本知识、数学方法。

椭圆的一个性质的再研究

文[1]给出如下命题． 命题（原文命题2）过原点0作椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的两条相互垂直的弦AC，BD，

例谈任务驱动教学法在数学探究课教学中的应用

著名心理学家布鲁纳认为：学习是一个主动的过程，对学生学习内因的最好激发是对所学材料的兴趣，积极的思维是建立在深厚的兴趣和丰富的感性基础上的，只有这样，学生才会积极主动地去学习，去思考，去探索知识的奥秘，建构主义指出：任何学习的发生都不是在白纸上进行的，而是将新知识与已有知识建立联系，

再谈一道三角题的证明

此题是1983年第17届前苏数学竞赛十年级试题，比较常见的方法是应用三角函数单调性用反证法证明，文[1]想到此题一个比较简单的直接证明，文[2]又给出了一个更加简洁的直接证明，最近，笔者通过构造法得到此题的又一个直接证明．

一道预赛解答题的另证

本文给出2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题的一个另证．

一道征解题的解题策略与视角

经典的数学问题往往背景新颖，呈现独特，内容丰富，内涵深刻，耐人寻味，给人启迪，有较强的启发性、代表性、拓展性，是理解巩固基本概念、深刻领会基本思想、培养掌握基本技能、启迪应用基本方法的好素材．若能经常对这样的问题进行多角度、全方位、深层次地思考，从中开发出解题的智慧，则可以大大提高分析问题、解决问题的能力，提高对数学问题本质的认识．下面的题目就是这样一道看似平淡无奇实则内涵丰富，深刻而不深奥，简约而不简单的数学问题，笔者对其进行了深入的思考，整理成文，以飨读者．

两个优美的几何不等式

文[1]给出如下一个优美几何不等式． 已知ra，rb，rc是AABC的分别以a，b，c为邻边的旁切圆的半径，则 （ra-rb）^2＋（rb-rc）^2＋（rc-ra）^2≥（a-b）^2＋（b-c）^2＋（c-a）^2.① 受其启发，笔者得到了如下两个不等式．

一道经典高考试题的再思考

题目 已知AC，BD为圆O：x^2＋y^2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为____.

一道三角证明题的辩证思考

唯物辩证法认为，质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律是支配自然界、社会和人类思维最一般的规律．数学中的辩证思想就是遵循这些规律，

一道三角题的直接证明

题目：已知：α，β∈（0，π/2），且sin（α＋β）=sin^2α＋Sin^2β，求证：α＋β=π/2． 此题一般是结合三角函数单调性用反证法加以证明，笔者给出一个比较简单的直接证明．

一道IMO试题加强的加强与推广

第42届IMO第二题是一道不等式证明题．对所有正实数a,b,c，证明：a/√a^2＋8bc ＋ b/√b^2＋8ca

构造不等式求最值——从一道变式题的错误解法谈起

文[1]给出如下的变式1及其解法．

一道联赛题的三个新解

题目求函数Y=x＋√x2-3x＋2的值域． 此题是2001年全国高中数学联赛第11题，命题组提供的解答方法是先移项两边平方，再对Y值进行回代检验的方法，文[1]发现此题蕴含的数学思想不一般，是一道可圈可点的好题，并给出了两个新简解，笔者也尝试求解此题，得到了此题三个新解法，整理成文，供参考．

圆锥曲线定点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线焦点弦的性质，本文将对此问题进行进一步的探究，得出圆锥曲线定点弦的一个性质．

圆内接长方形周长与面积最值问题的类比研究

问题引入 我们知道，半径为R的圆的内接长方形，其周长最大值为4√2R，面积最大值为2R2．那么半径为冗的球的内接长方体，会有怎样的类似结论？若将内接长方体改为其它特殊的内接几何体，又会怎样呢？本文将对这些问题展开研究．

一道经典高考题的多角度思考

此题是2011年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ数学（理科）第21题，是一道综合性较强的题目，试题在严格遵循《考试大纲》的同时，创造性地贯彻数学教育的新思想、新理念，在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，命制专家摒弃以前解析几何题的传统命题模式，突破全国卷近几年来解析几何考查的固有圈子，将知识、方法和原理融于一体，

只要形成正确的算法，条条大路通罗马——一道问题争鸣引发的思考

本文从一道排列组合问题两个不同结果的解答入手展开研究，试图说明：解好排列组合综合问题的关键所在是要抓住问题中元素的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，形成正确的算法．

又谈一道三角题的证明

此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题，尽管题目条件比较简单，但论证角度非常丰富，很多经典的书籍和期刊文章对其均有一定的研究，文[1]对此题进行了如下的剖析（剖析1），并给出了一个解（解法1），笔者从这个剖析和解展开研究，得到一些思考结果，整理如下，与大家交流．