一道大学生数学竞赛题的另证、推广、类比

一、问题引例（2011年大学生数学竞赛（数学类）试题）在AABC中，求3sinA＋4sinB＋18sinC的最大值在文【1—3】中均给出了它的一些解法，本文再用改进的切线法给出它的另一种方法，并对其进行推广与类比．

用一简单函数证明均值不等式

均值不等式是所有不等式中最基本最重要的，它的证明一直是人们研究的热点，本文利用一简单函数单调性给出它的一个证明．

对函数f(x)=a^x+b^x+c^x单调性的探究及其应用

笔者最近在数学通报2016年第2期上看到如下问题:问题1(数学通报2285号问题)设a,b,c>0且abc>1,证明:函数f(x)=a^x+b^x+c^x上为增函数.原解答中采用作差比较的方法证明,非常巧妙,不易想到.现在高中已有微积分的知识,用导数判断函数单调性已经是常用方法,下面笔者先将其推广,再通过举例谈谈它的简单应用.

一个不等式猜想的另证与推广

文[1]最后提出了四个不等式猜想,文[2]利用导数、文[3]利用柯西不等式和均值不等式分别给出了猜想1的证明与推广.本文笔者应用均值不等式与切比雪夫不等式给出猜想1的证明及推广.

合理放缩超越函数 巧取零点所在区间

在近年高考中零点问题已悄然成为了一个热点，这类问题一般利用函数的单调性与零点定理来解决，其理论依据是：（1）若函数f（x）在区间[a，b]上是连续的单调函数，则函数f（z）在区间[a，b]上至多一个零点．

Nesbitt不等式的推广与证明

1引言 Nesbitt不等式“若a,b,c∈（0,＋∞）,则a/b＋c＋b/c＋a＋c/a＋b≥3/2”是一个非常著名的不等式,经常见之于各类杂志,在各类数学竞赛中以它为背景的试题也是一再出现.本文先用局部不等式法证明该不等式的推广,再指出它与一些数学竞赛题之间的联系.

对一个常见数列不等式的探究与推广

文章通过对一个常见数列不等式的分析、证明、推广、寻根,指出一种解决与数列前n项积有关不等式的通用方法,该方法既能证明不等式,又能发现不等式.

用“逐步调整法”证明数列前n项和不等式

数列前n项和不等式n∑i=1ai <s(或>s)的证明,如果{a_n}可求和(即其前n和有相对简单的表达式),可先求和再放缩而获得证明;如果{a_n}不可求和,一般将其放缩到一个可求和数列{b_n},转化为前一类型.然而放缩的方法灵活多变,技巧性太高,放得过大、缩得过小的情况时有发生,如何控制好放缩的'精度',是放缩中必须要考虑的问题。

对“切线法”证明不等式的一种新拓展

“切线法”作为不等式证明的一种常用方法,稍有解题经验的人都会有所了解,但笔者从以往的文献(如文[1]、文[2])中发现,用切线法处理的问题大多是形如“满足n∑i=1xi=s,证明n∑i=1f(xi)≥C(≤C)”的一类对称的条件不等式,那么不对称的不等式是否也可用切线法来证明呢?笔者通过探究发现是可行的,本文结合实例,对该方法介绍如下。

对一个数学问题的推广探究

1引言 《数学通报》2016年第11期上刊登的2332号问题，笔者通过研究发现该不等式不仅可以推广到一般情况，还可以类比得出很多有意思的不等式，先整理如下．

数学问题解答

2018年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)2416已知:x、y、z均为正整数,满足11/x=1/y+1/z,(x,y,z)=1,(x,11)=1且x>11,求x的值.(浙江省慈溪市慈溪实验中学华漫天315300)解由于(x,y,z)=1,所以x、y、z中至少有两个数互质,

与数列前n项积有关不等式的探讨

在文[1]、文[2]中都介绍了一种对数列前n项和估界的方法,文[2]中称之为“参数——裂项相消法”,它的思路是先待定参数设出数列{bn},使anbn-bn＋1成立,求出符合条件的最优参数,再求和,从而估计出数列{an}前n项和的上界和下界.此法对数列的前n项和可行,是否也可类比到对数列前n项积进行估界呢？笔者通过探究发现是可行的.