《数学通报》问题2367的新证及推广探究

1问题2367设a，b，c〉0，且abc=1，求证：a3/a2＋b＋c＋b3/b2＋a＋c＋c3/c2＋a＋b≥1．（1）这是《数学通报）2017年6月号问题中的一个不等式问题，笔者用函数的方法给出新的证明，并对问题2367作推广和变式探究．

放缩+最值证一类对称型条件不等式的探究

对称型条件不等式是指这个不等式左端轮换对称,一般为对称项的和、或对称项的积、或对称项的和与对称式的积的和,其造形优美,证法多样,在高考、竞赛和问题研究中经常出现.这些不等式大多在变元相等时取等号,对在变元相等时取等号的这类不等式,笔者通过研究,发现先放缩,再求最值(简称“放缩+最值”法,以下同)的方法是证明这类不等式的一条捷径.因为它只须研究对称项的性质,所以对比较复杂的这类不等式的证明及推广更显优势.下面是笔者用“放缩+最值”法对这类不等式证明及推广的一些探究.

数学通报2017年10月问题2387的另证及推广

《数学通报》2017年10月号问题2387 设a，b，c≥0，a＋b＋c=6，求证：

问题2555的另证、推广及拓展

摘要应用切比雪夫不等式和均值不等式对问题2555给出另证,另证易于推广.它是把要证的不等式左边按分子分成分子高次的和减分子低次的和.证明分两步:对分子高次的采用分子分母同次化分子高次的方法,得分子高次和的式子大于等于1;对分子低次的采用分子低次化分子分母同次的方法,得分子低次和的式子小于等于1,作差即可.并对问题2555进行了推广和拓展.

问题2481的推广和变式研究

对《数学通报》2019年5月号问题2481按指数进行推广,并对问题2481的一个变式进行推广研究.

一个数学问题的推广探究

《数学通报》问题2473是椭圆焦点三角形的外接圆半径、内切圆的半径与椭圆长半轴长、半焦距的一个关系式,作者用椭圆的定义和焦点三角形面积给出了证明.受此启发,从双曲线和抛物线的定义和焦点三角形面积推广探究双曲线和抛物线的类似结论.

问题2510的另证及推广

《数学通报》2019年11期问题解答中问题2510的证明跳跃性大,另证调整思路,两次应用切比雪夫不等式,严格的证明了问题2510,并对问题2510由其等价条件按项数和指数进行了推广.

对一个不等式推广的纠正和拓展

指出《数学通报》2019年第1期“一个不等式的推广”一文中的错误,并作出正确的推广,还对问题及推广进行了拓展.

一道“希望杯”赛题的简证及推广

题目若正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+23abc≤1.①(第28届“希望杯”高二2试)证明不妨设a≥b≥c>0,则a2+b2+c2+2槡3abc≤3a2+2槡3a3,由a+b+c=1,知13≤a<1.3a2+23a3是a的增函数,当a=13时,(3a2+2 3a槡3)min=13+23=1,所以不等式①成立.

一道湖北预赛题的解法探究

题目已知正数a.b满足ab(a+b)+4,则2a+b的最小值为____.(2017年高中联赛湖北赛区预赛)

一个不等式及其推广和变式研究

首先介绍一个不等式,它能把一类不易求和的分式放缩为容易求和的分式,用它简捷地证明了《数学通报》问题2587及其推广,并探究给出这个不等式的一个变式及其推广.