数学解题错因分析与对策

数学离不开解题.著名数学教育家波利亚在《数学的发现》中说:"中学数学教学的首要任务就是加强解题训练","掌握数学就是意味着善于解题".在解题实践中,解题者往往因为思路不清晰,叙述不严谨,考虑不周密,自身知识所限,不良的解题心理等原因而使解题发生错误.

数学例题教学的＂五忌五宜＂

例题教学是数学教学的重要组成部分，提高例题教学的有效性是提高数学教学质量的关键．通过例题教学，帮助学生理解知识，突出重点，突破难点，形成技能，提炼思想，培养能力，努力促进学生在知识与技能，数学思维，情感与态度等方面充分发展．下面结合教学实践与思考，谈谈数学例题教学的“五忌五宜”．

数学例题教学的“五忌五宜”

例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，提高例题教学的有效性是提高数学教学质量的关键．结合教学实践与理论思考，对数学课堂例题教学的有效性，提出数学例题教学应“五忌五宜”：忌“就题论题”，宜“思想提炼”；忌“只思巧法”，宜“通巧结合”；忌“只讲正法”，宜“正误辨识”；忌“只讲结果”，宜“互动生成”；忌“解完了结”，宜“反思悟透”．

换元法——解题的利器

对于许多数学问题，若能多维视角适时进行转化，紧紧抓住题目中的数量关系及其结构特征，恰当运用换元法，不仅能使问题中各量之间的关系变得清晰明了，整体特征显现，沟通已知与所求，而且可使问题化难为易、化繁为简、化生为熟、化异为同，然后使问题顺利获解，现结合典型例子加以说明．

不变量解题四功能

在许多数学问题中,虽然数量、图形在不断运动变化,但常常存在一些或显或隐的不变量,如定点、定直线、恒等式、定角、距离、面积、体积等.在解题中,若能善于在变量的变化过程中挖掘并利用这些不变量,往往能打开解题突破口,化繁为简、化难为易,提高解题的简洁性、准确性、有效性.1

巧设“陷阱”性问题 激活学生思维品质

学生在解题中常常犯各种各样的错误，许多教师和学生往往将之归结为“马虎”、“不认真”，轻描淡写地提醒下次注意就过去了，结果到下次解题时又重复“昨天的故事”，“涛声依旧”．为什么呢？

多维视角 例析“存在”

高中数学中的“存在”一词常见常用,内容丰富,应用广泛,方法灵活,但易混易错.文中从多维视角,例析数学中对“存在”的理解及应用,分析对“存在”应用的常见错误,要求解题既要谨慎又要灵活,以达揭示“存在”的数学意义本质及正确应用于解题.

“变量关系”要明晰 “等价转化”是第一

多变量问题是高中数学中的重要内容，此类问题分析起点高，思维难度大，考查能力强，学生常陷入盘根错节的变量关系之中而无法理清头绪．根据多变量问题的不同特点，提出：“变量关系”要明晰，“等价转化”是第一的解题策略，并总结其不同的解题方法，旨能区别类型，对症下药，思路清晰，逻辑严密，有理有据，准确无误．

巧设“陷阱”问题 激活学生思维

结合具体实例说明在教学中适当设置“陷阱”问题，能使学生在辨错中培养思维的严谨性，在纠错中培养思维的批判性，在悟错中培养思维的深刻性．

聚焦数学课堂教学高潮的“四个着力点”

构建和谐、高效的数学课堂是每位数学教师的不懈追求．和谐、高效的数学课堂必然伴有数学教学的高潮，如何精心营造数学课堂教学高潮呢？文中分别从以“情”架桥、以“境”铺路、以“思”促成、以“悟”升华等“四个着力点”方面给予论述．

换元法的解题功能

对于一些数学问题，若能抓住题目中的数量关系或特征，恰当运用换元法，不仅能使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，沟通已知与所求，而且可使问题化难为易、化繁为简、化生为熟、化异为同，然后使问题轻松获解，本文结合例子谈谈换元法的若干解题功能．

教研论文写作“三步曲”

结合数学教学实践，对教研论文写作谈“三步曲”：多维视角提炼主题；积累素材提高见识；注重细节修改投稿．

相关变量问题处理的“三不宜”

因行文需要,先给出一个约定： 若一个变量的取值受到另一个变量的制约或影响,即两变量间具有相关关系,如x,y为非负数,且x＋y=1,称x,y为＂相关变量＂;反之具有独立关系,如x∈[3,5],y∈[1,8],称x,y为＂独立变量＂.在实际解题中,很多学生对处理＂相关变量＂问题感到混乱,思路不清,考虑不周,频繁出错.所以,有必要对求解＂相关变量＂问题作进一步的说明.

变式视角 例谈“任意”

高中数学中的“任意”一词在函数解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等问题中常见常用，变式多样，丰富多彩，内含深刻．由于许多同学在数学解题中对“任意”一词理解不深，掌握不透，应用不活，从而严重影响解题思路与正确率．本文结合例子，从变式出发，多视角例谈数学中“任意”一词广泛而灵活的应用．

定义域解题四功能

函数的定义由定义域、值域及对应法则三个部分组成，其中定义域是函数的灵魂，在研究函数的有关问题时都离不开函数的定义域．在实际解题过程中，许多学生往往因未注意定义域或用错定义域，从而无法挖掘出问题的隐含条件，难以找到解题的突破口．或未能简化、优化解题过程，或出现解题的错误．笔者通过例子思考了定义域的四个解题功能．

深入问题本质 激活学生思维

“为思维而教”.数学教学要深刻理解数学问题的本质,激活学生思维,帮助学生插上思维飞翔的翅膀,沟通数学问题内部多层次的联系,让学生对问题“不仅知其然,更知所以然”,努力提高数学课堂教学的有效性,使学生的数学核心素养得到充分的发展.如何深入数学问题的本质,激活学生思维?结合例子谈“三点”做法.

两种理解 哪种更合理?

1问题缘起 笔者在一本教学参考书中发现有以下一例并作了错因分析.

从“ 充分与必要” 视角辨析一题解法的是与非

从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析,以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视,认识要深刻,理解要到位,要发现规律、揭示本质,才能真正掌握数学知识,提高数学解题能力,提升数学学科核心素养.

对一“易错点分析”的再分析

对一本教学参考书给出一例的解答和它的“易错点分析”进行再分析,并引发若干思考,旨在击中要害,揭示本质.

例谈数学解题要“适法”

通法,就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据,以基本方法为技能,它的解法思想合乎一般的思维规律,其具体操作过程必须为全体学生所掌握.巧法,着眼于提高.巧法的灵魂在于“巧”,即在于它整体地把握问题,灵活地运用双基,巧妙地使用条件,是抽象、概括、发散、合情推理的产物.巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体,