2013美国国家队选拔考试

1．一个联谊俱乐部有2k＋1名成员，每名成员均精通相同的k种语言，任意两名成员只能用一种语言进行交谈．若不存在三名成员，他们两两之间用的是同一种语言进行交谈，设A是由三名成员构成的子集的个数，且每个子集中的三名成员两两之间用的是互不相同的语言进行交谈．求A的是大值．

2012美国国家队选拔考试

1.已知锐角△ABC满足∠A<∠B,∠A<∠C,P为边BC上的动点,D、E分别是边AB、AC上的点,使得BP=PD,CP=PE.证明:当点P在边BC上移动时,△ADE的外接圆过一个不同于A的定点.2.求所有的函数f:R→R,使得对于每个实数对(x,y)。

2014美国国家队选拔考试

1.在锐角△ABC中,已知X为△ABC的外接圆的劣弧BC内的一个动点,点X在CA、BC上的投影分别为P、Q.过点B且垂直于AC的直线与直线PQ交于点R.设过点P且平行于XR的直线为l.证明：当点X在劣弧BC上变动时,直线l总过一个定点.

第58届美国国家队选拔考试

1．设A=A（x，y）、B=B（x，y）为二元实系数多项式．若对于无穷多个y，A（x,y）/B（x,y）为关于x的多项式，且对于无穷多个x，A（x,y）/B（x,y）为关于y的多项式，证明：B｜A，即存在一个实系数多项式C，使得A=B·C．

2014-2015美国国家队选拔考试

1．设非等腰△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，BC的中点为M，Q为⊙I上一点，且满足∠AQD=90°，

2016美国国家队选拔考试

1．在某体育协会中，每支球队可最多选择t种标志性颜色作为队服的颜色．对于一个由球队构成的集合S．

2008女子数学奥林匹克

第一天 1．（1）问能否将集合{1，2，…，96}表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；

2010女子数学奥林匹克

第一天 1.给定整数n(n≥3),设A1,A2,…,A2n是集合{1,2,…,n}的两两不同的非空子集,记A2n+1=A1.

2017—2018美国国家队选拔考试

1.对于素数p、正整数e,n=p^e能使得等号成立.用[a,b]表示集合{a,a+1,…,b}.则容易得到下面的引理.引理记φ为欧拉函数.若a、d均为正整数,则[a,a+d-1]中有φ(d)项与d互素.设d1,d2,…,dk为n的所有正因数.