构造三角形解三角题

本文着重讨论在非三角形条件下的某些三角函数问题,如何通过构造三角形来解决.

巧用托勒密定理解一类平几题

圆内接四边形两组对边乘积的和等于其对角线的乘积,这就是著名的托勒密定理.巧用这一定理解某些难度较大、层次较高的圆内接多边形问题,可收到构思新颖、步骤简明的奇特效果,下面举例说明.例1已知P是正方形ABCD的外接圆DC上任一点,如图1,求证:(PB+PD)/PA+PC)=(PA)/(PB) 证明 连结AC、BD。

用含参数的柯西不等式证一类竞赛题

含参数的柯西不等式: (sum from i=1 to n(a_ib_i))~2=[(sum from i=1 to n(λ_ia_i)·(b_i/λ_i)]~2≤(sum from i=1 to n(λ_i^2a_i^2)(sum from i=1 to n(b_i^2/λ_i^2),其中λ_i】0 (i=1、2、…、n)。

一道平几题的应用

定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,则b^2=a^2+ac的充要条件是∠B=2∠A. 这是一道脍炙人口的名题,通常被人们视为平几中一题多解的典范,而往往忽视了它的潜在功能.本文就其应用介绍如下: 一、解三角形例1 若△ABC的三边长为连续整数,且最大角∠B是最小角∠A的两倍,求三角形的三边长. (第10届IMO试题) 解:设AB=X,则AC=I十1,M=I—l,由定理得 (。+1)2一k-])’+k-1),化简整理得X’-SX一0, ∴\X=0(舍去)或X一5.故 AB=5.M=4,AC=6. 例2 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列且b^2-a^2=ac。

利用形似联想寻求解题途径

形似联想是指由一件事物的认识引起与其形态相似的另一件事物的心理过程,在认识活动中起着桥梁作用。就解决数学问题而言,由命题的条件或结论,联想到与其形态相似的定理、公式或已经证明过的命题等,从而把解决某个特殊问题的原则和方法移植到相似的问题上,使复杂的转化为简单的,陌生的转化为熟悉的,繁难的转化为简易的。形似联想的这种转移性,为寻求解题途径开辟了新的天地。例1 已知k=a/(b+c)=a/(c+a)=c/(a+b),求k的值。分析:此题通常用来说明应用等比定理应注意它成立的条件,若注意到已知是三对数成比例,这多么象两条直线重合的条件。

两类几何题的求解方法

在初中数学竞赛中,对于下面两类试题,学生往往难于着手,实际上,利用图形的旋转变换,常能得出简捷的解法.一与正三角形(或其外接圆上)一点有关的几何命题,常可用三角形的旋转变换来解决.例1 P 是正ΔABC 内一点,且 PA=5,PB=4,PC=3,求ΔABC 的边长.

数学竞赛中的复合最值问题

在数学竞赛中,常常遇到在一些量的最大(小)值中求最小(大)值的问题,我们称之为复合最值问题。由于这类问题比较抽象,且解法灵活,因此,颇受命题者的青睐。 本文给出解复合最值问题的若干方法,供参考。

一个绝对值等式的性质及应用

若a、b为实数,则|a+b|=|a|+|b|(?)ab≥0.利用这一简单性质处理某些绝对值问题,既能避免分类讨论,又能优化解题过程,下面举例说明.

“涉零问题”错解剖析

已故著名数学教育家傅仲孙先生说:“当教师的人,能对于‘零’谨慎小心,则受福无量矣!”,由于“零”既非常活跃,又非常隐蔽,解题时稍不注意,就会出现失误.请看如下数例:

编题莫忘存在性

在编拟数学题时,若只重视题目的知识性和技巧性,而忽略了满足题设条件的数学对象的存在性,则往往编出错题。

对顶三角形与多角和

如果一个三角形的一个内角与另一个三角形的一个内角成对顶角,那么这两个三角形叫做对顶三角形.如图1,△ABE 和△CDE 就是对顶三角形.它有如下性质.性质两个对顶角三角形的其它两个内角之和相等.利用这一简单性质,可以简捷、巧妙的解决数学竞赛中一类复杂图形的多角和问题.

再谈牛顿恒等式及其应用

再谈牛顿恒等式及其应用刘久松（山东省临沂地区劳动技校２７６００５）文［１］介绍了与一元二次方程有关的牛顿恒等式在解题中的应用，读后颇受启发．作为续篇，本文再谈谈与一元ｎ次方程有关的牛顿恒等式及其应用，供大家参考．定理设ｘ１，１２；…，２。是方程２”＋...

关于选择支的设计

选择题以概念性强、覆盖面广、解法灵巧、评分客观等特点,颇受命题者的青睐,成为各类考试或竞赛的主要题型。但在具体的编拟过程中,除了遵循命题的一般原则之外,还要注意到选择题自身的特点。本文就选择支的设计谈几点看法,不妥之处,恳请同行教正。 1.完备性 这里所说的完备性,是指选择题必须有正确的选择支。 例1 如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)