整体代换在均值不等式中的应用

读?中学生数学?2023年9月(上)张宜凡老师的?换元法在均值不等式中的巧用?一文(后称文[1]),很受启发,不过对其例1,笔者有不同的看法,并由此联想到用整体代换来解决此类问题,也别有洞天.下面是我们的心得.

分离分式降低思维难度—再证一赛题

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题：若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证：1〈1/1＋x＋1/1＋y＋1/1＋z〈2. 文[1]认为命题组给出的证法简捷明了,但是高中教材没有此法,大部分没有经过培训的高中生是想不到此法的,于是提供了一个利用真分数的分子、分母各加L一个相同的正数,则分数的值增大来证明,文[1]也指出“这个证法独特,技巧性极强,要求对教材中的题目做的深透,提高思维层次,活用证明方法,”由此观之,要想到也是很难的．我想到,只要用到消元思想,目标意识,分离出1与2来,是不难证明此题的．下面就写出这个证法：

思维很灵活 解法需斟酌

读了《中学生数学》2011年4月（上）期《中学生习作》栏中的李中培同学的《我是这样思考的》一文（后称文[1]），深深地为李同学的求新求简的思维、灵活的创新能力感到欣喜，

怎样截最合理

题目有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯的数量比大于1/3,怎样截才最合理？

从数字特征和公式结构中找到解题路径

最近学习了《中学生数学》2007年7月(上)期,受到了很多的教益,同时,引发了自己的解题灵感,下面以文[1]和文[2]中的两个例子为例谈点自己的体会.

只要用得妙 常规也能得巧解

例1题目：求sin80°/sina20°－√3/2sin80°的值。《中学生数学》2009年1月上发表的齐迪同学的文章《三角函数一题巧解》介绍了一个常规解法，然后提供了一个巧解，我读后觉得，巧则巧矣，但是，确实难以想到，过程并不简单。

抛物线内接直角三角形的性质发现、拓展及应用

1.引言《中学生数学》2006年10月刊高中版第35页的《对一道数学题的探究》一文,由题目:"直线l:3^(1/2)+2y-6=0与抛物线:y^2=2 3^(1/2)x交于P、Q两点,则∠POQ=___"及答案90°猜想:"若令3^(1/2)=p,则直线方程变为y=-p/2x +p^2,抛物线方程变为y^2=2px(p≠0)。

初探函数的对称性和周期性的关系

高中教材(无论新旧)都是在学习正弦函数、余弦函数时介绍函数的周期性的．若注意到正弦函数、余弦函数同时也是轴对称函数．中心对称的函数,那么,函数的对称性与周期性有无必然的联系?

重视课本知识,灵活解决问题

陈令深老师发表在《中学生数学》2005年2月(上)的《代换法解题》一文,介绍的代换思想方法,思路简捷且解法独到,富有新意,读后很受教益.但文中有的观点不敢苟同.下面仅以该文中例1、例3(本文作例1、例2)分析之.

用线性规划知识解一道三角题

已知3sinx+2cosy=4,求:2sinx+cosy的取值范围．《中学生数学》2006年2月上《妙解一则》提供了一个解法,下面拟给出一个用线性规划知识来解的解法．

利用向量求异面直线所成的角

异面直线所成角的问题,是空间“三大角”问 题之一,历来是考试的重点内容．传统的方法是 按定义平移,然后再通过解三角形的方法来求出 角的,如何平移,有一定的难度和技巧．如果是使 用向量,求异面直线所成角便不再困难了．a与b 是两异面直线,设它们所成的角是θ,任取一个 与a共线的已知非零向量a,一个与b共线的非 零向量b,则a与b的夹角(?)便是θ或π-θ。

《对一道竞赛题的探究与推广》的推广

1文[1]简介在学必修二时,老师介绍了《中学生数学》2017年4月的刘刚、赵毅老师《对一道竞赛题探究与推广》供我学习,收益颇丰.文[1]探究的题目是2016年福建省高一数学竞赛15题:圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被圆O截得的线段长为2√3.

对《我的一次探究性学习》的研讨

我们学习了《中学生数学》2002年9月上期中由张丽华撰写、曹军老师指导的《我的一次探究性学习》一文,觉得张丽华同学的探究精神值得我们学习,他探究出的重要结果:直线方程的“斜-1截式”别开生面,给了我们很大的启发.我们对该文进行了探究性学习,得到了如下结果,谨与张丽华同学。

一个最值问题的简解

尹迪石老师的《均值法与一类最值问题》一文(刊于《中学生数学》2004年7月上)用均值法解决了这样一个问题：