徐利治教授在《数学分析的方法及例题选讲》一书中,给出了一个组合恒等式,即 multiply from k=1 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>n</sup>=n!。（1）这是有名...徐利治教授在《数学分析的方法及例题选讲》一书中,给出了一个组合恒等式,即 multiply from k=1 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>n</sup>=n!。（1）这是有名的Euler恒等式。本文将恒等式（1）作了如下推广: multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>a<sub>k-1</sub><sup>n</sup>=n!d<sup>n</sup>。（2）其中a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n+1</sub>是以d为公差的等差数列。显然,在（2）中,当d=1,a<sub>1</sub>=0时,便可得到恒等式（1）。为了证明（2）,需要下面的结论。引理下述恒等式成立。 multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup>=0 （3）其中n】m≥0,并约定0<sup>0</sup>=1。证明因为 multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup> =multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>（-1）<sup>2k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup>展开更多
文摘徐利治教授在《数学分析的方法及例题选讲》一书中,给出了一个组合恒等式,即 multiply from k=1 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>n</sup>=n!。（1）这是有名的Euler恒等式。本文将恒等式（1）作了如下推广: multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>a<sub>k-1</sub><sup>n</sup>=n!d<sup>n</sup>。（2）其中a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n+1</sub>是以d为公差的等差数列。显然,在（2）中,当d=1,a<sub>1</sub>=0时,便可得到恒等式（1）。为了证明（2）,需要下面的结论。引理下述恒等式成立。 multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup>=0 （3）其中n】m≥0,并约定0<sup>0</sup>=1。证明因为 multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup> =multiply from k=0 to n（-1）<sup>n-k</sup>（-1）<sup>2k</sup>C<sub>n</sub><sup>k</sup>k<sup>m</sup>
