基于函数值再生核希尔伯特空间的偏微分方程神经求解算子

通过精心设计神经网络结构来学习无穷维函数空间之间的映射,算子学习方法——神经算子,相较于传统方法在求解偏微分方程等复杂问题上展现出极高的效率.为此,本文结合函数值再生核希尔伯特空间,提出一种新型的神经算子——再生核神经算子(RKNO).受到最近优秀的算子学习方法——深度算子网络(DeepONet)的启发,RKNO通过推广希尔伯特-施密特积分算子和表示定理而实现.在Advection,KdV,Burgers和Poisson方程上的数值实验表明,与DeepONet和其他模型相比,RKNO具有更易于表达和高效的结构.此外,RKNO还显示出与离散化无关的性质,可以在低分辨率数据训练后,找到高分辨率输入后的解.