任意三角形Laplace特征值问题谱方法的数值对比研究

本文选取多项式、有理多项式以及三角函数等五类函数作为基函数，设计相应的谱方法逼近格式并实现相应算法，对任意三角形上Laplace特征值问题进行数值求解对比研究．比较实验结果显示，谱方法相较于经典有限差分、有限元等低阶方法有较多的可信特征值；其中的Koornwinder多项式谱方法与基于Koornwinder多项式的有理谱方法，其可信特征值的数量达到全部计算特征值的4/π^2，并且达到“指数阶收敛”；而三角函数谱方法，则保持了稳定的收敛阶且有较多的可信特征值．

双调和算子特征值问题的混合三角谱元方法

本文针对双调和算子特征值问题设计了基于混合变分形式的三角谱元逼近格式,其基函数采用指标为(-1,-1,-1)的广义Koornwinder多项式.在H^1-及H_0~1-正交谱元投影的逼近理论基础上,我们建立了双调和算子特征值与特征函数的收敛性估计;它关于网格尺寸h是最优的,关于多项式次数M是次优的.然而,在H_0~2-正交谱元投影的最优估计假设前提下,关于M的次优收敛阶估计则提升为最优.此外,Koornwinder分片多项式逼近的结果还表明,在带权Besov空间范数的度量下,对于存在着区域角点奇性的双调和算子特征值问题,谱元方法的收敛阶能达到h-型有限元方法的2倍.最后,本文的数值实验结果展示了谱元逼近格式的高效性,同时也验证了相关理论的正确性.