非直接直观:对哥德尔数学直观概念的一点议论

当代数学哲学文献中往往倾向于将数学直观理解为我们(从数学对象)不加中介直接获得表象的过程(或这种能力、所得结果),简称为“直接接触解读”。本文基于对哥德尔文本中数学直观概念的解读,强调对数学直观的被忽视的另一种理解,即“数学直观不必被理解为直接知识”。本文首先反思“直接接触解读”得以流行的背景;然后结合哥德尔和王浩的文本证据,将哥德尔数学认识论概念细分出三个层次,并确立对数学直观的非直接的解读。最后将以文献中“专家直观”“构成实在论”这两种背景和关切各异的数学哲学研究进路为例,说明非直接解读所蕴含的丰富的理论发展可能性及更贴合哥德尔思想的优点。

巴拿赫—塔斯基佯谬的接受历程与哲学意义探析

数学的视野扩大到纯数学的发展历程暗藏了认识或价值倾向变化。巴拿赫-塔斯基佯谬断言,我们在数学上能将一个球体拆成有穷片,再重组为两个原球完全一样的球体。该命题及其相关命题起初因“反直观性”而被视为悖论;后又被接受为定理;至今又已启发了有穷可加测度和顺从群方面的成果。这些成果巩固了巴-塔佯谬的合法地位,也可授信于推演它所需的公理。这一事实不仅可影响到数学哲学中“公理辩护”的探讨,也为思考价值如何影响认知,这一更具一般性的主题,贡献了一则似乎更先天的例子。