考查全面 稳中有变 能力立意 内涵丰富——2012年上海高考数学试卷评析及复习建议

2012年上海高考数学试卷考查知识全面，试题较往年趋于稳定而有新意，整卷保持上海高考能力立意的特点，注重文理科的合理差异以及数学在实际问题中的应用，个别试题入手容易，但内涵丰富，为新一届的高三教学起到一定的导向作用。部分试题是不可多得的教学研究的好素材．

几个优美不等式的渊源及证明

安振平老师在中学数学教学参考（上旬）杂志2010年第1-2期上提出了二十六个优美不等式，笔者指出其中的第（5）、（6）、（7）、（25）个不等式产生的渊源，并给出以上不等式的证明．（5）设x，y，z为正实数，且满足z＋y＋z=1，求证：x＋yz/x＋y＋zx＋z＋xy/z≤4/9,

对2009年上海市春季高考数学第20题的赏析

综观2009年上海市春季高考数学试题，大部分题目比较常规，重在考核学生的基础知识和基本技能，但试卷中最后一道压轴题很有研究的价值，原题如下：

一类数列不等式的常用证明方法及评注

文[1】、[2】、[3】探讨了形如n∑i=1f（i）〈（〉）M（M为常数）的数列不等式的几种证明方法，且文【1]指出形如n∑i=1f（i）〈（〉）M（M为常数）的数列不等式适宜用放缩裂项法，

对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究

2009年高考数学上海卷理科第22题如下：

三角函数解题中不可忽略隐含条件——从分析一道期末考试试题引发的思考

一、提出问题 笔者教授高一数学，在期末考试中有这样一道三角题： 小明同学解下列方程：1＋sin2x＋cos2x=0，解法如下：

C^＊-代数的迹迹秩

引入C^＊-代数迹迹秩的概念,讨论它的基本性质.另外,迹迹秩为零和迹拓扑秩为零的C^＊-代数等价,同时讨论这类代数的拟对角扩张性质.设O→I→A→A/I→O是拟对角扩张的短正合列,证明如果TTR（I）≤k且TTR（A/I）=0,则TTR（A）≤k.

高中数学思想方法的结构化教学研究

数学核心素养如何在日常教学中高效实施?教师除了加强基础知识的教学之外,数学思想方法是高中数学教材中不可忽视的隐含线索.结构化教学可以帮助学生形成较为完善的数学知识结构与认知结构.从结构化视角分析教材的知识结构,并对数学思想方法的教学进行结构化分析.

对一个优美不等式的证明及联想

从证明一个优美不等式出发，通过条件与结论的适当改变，联想得到一些类似的不等式问题，从中我们可以感悟到不等式问题的奥妙之处．

循序渐进做高考题——以2011年上海卷数列题展开的高一数列复习课

每年的高考给广大教师与学生带来很多好题，若教师在平时的教学中充分利用这些好题，则对培养学生的能力大有好处．刚刚过去的2011年全国高考的数学试题，难度趋于平稳，中等及偏下的题目占大多数，很多题目都是学生平时遇到的常规题，但其中不乏有好题、亮题，比如理科第22题（文科第23题）．

几何体的内切与外接球问题

几何体与球有关的组合问题，一种是内切，一种是外接．作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的难点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力和感性认识而感到模糊，这给分析问题和解决问题带来困难．解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，利用画截面图、等体积法、构造几何体等方法常常可使这类问题迎刃而解．下面通过几个典型的例子具体说明．

关于方程的根的有关问题

关于方程的根的问题是高中数学函数学习中一个比较重要的内容，主要考虑方程的根的个数、求方程的根等，特别是对含有字母的方程的根的问题需要一定的分类讨论．利用函数工具及数形结合思想研究方程的根的问题是一种常用的方法．笔者在教学实际中发现学生往往不能选择正确的函数，把方程的根的问题转化为（两个）函数图像的交点的问题．

有关扇形内截矩形问题的研究性教学

前不久，笔者聆听了一节校级公开课，内容是《有关扇形内接矩形的面积问题》，是以上海教育出版社高一数学教材及配套练习册上两道练习题为出发点设计而成的一节研究性教学课．笔者听后很有想法，现整理出来，供大家参考．

希望怀赛题的解法探究

第22届（2011年）“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试第17题：

对一道四边形与向量典型问题的多角度思考

问题1、2的条件与结论非常类似,只是平面四边形与空间四边形的差异而已,那思考与解决的方法应该类似.有了这样的类似问题后,引导学生先思考并解决在平面条件下的问题2.

对一道数学竞赛试题的多角度研究

对2008年中国西部数学奥林匹克竞赛试题第6题，从等号成立、问题推广、逆命题、最小值、增加条件及类似问题等方面加以多角度研究，从中我们可以更加深刻地理解此题，也为教师及学生研究数学试题提供了一定的参考方法．

三角比计算中隐含条件的挖掘

通过一些典型例题，从方法上归纳了三角比计算中隐含条件的挖掘，对教师与学生三角比的教学具有一定的参考价值．

2009年上海市高考数学部分能力型试题赏析与启示

从知识点的交会、数与形的转化、数与形的结合及问题的转化等四个方面选取2009年上海市高考数学部分能力型试题，从高考试题的设计思路、解析、启示等方面加以分析，并结合教学实际中的一些典型问题加以深入探讨，可作为一线数学教师日常课堂教学的参考．

关于不等式恒成立与方程恒有解问题

文[1]讨论了含参数不等式恒成立问题中何时能运用主、辅元辩证转解题策略,何时不能;文[2]讨论了求解不等式恒成立问题时＂构造函数法＂是一个有效的方法,此外,含参数不等式恒成立问题的一般解法还有：最值法、参数分离法、数形结合法等.从教学实际来看,

一类条件不等式的特征及证法

形如∑a=1（即已知条件类似为a，b，C∈R’，a＋b＋c=1）的不等式证明的方法各种各样，但仔细研究还是有规律可循的，选择什么样的证明方法要根据所证明不等式的具体形式，本文拟对这样一类条件相同的不等式的形式加以分析，并对证明方法的选择加以指导．