由一个不等式想到的

最近一位中学教师,问了如下的问题:若a>1,则h（n）=(1+a2+…+a2n)/(a+a3+…+a2n-1)>（n+1）/n。在这个问题中,若令f（k）=1+a2+…+a2k,则h（n）=f（n）/af（n-1）,当我们把f（n）表为1+a2的多次式时,其系数恰好是杨辉三角底角分角线上的数,更有趣的是,这样得到的数列,就是斐波那契数列。现在先用归纳法来证明上面的问题: 当n=1时,因a>1,故（a-1）2>0,从而（1+a2）/a>2,不等式成立。

韩信点兵

韩信是我国古代的一位杰出的军事家,他懂得数学,为了保守军机,曾用数学于军事,“韩信(暗)点兵”,就是一个突出的例子。其方法是:“令士卒从1至3报数,记下末卒所报之数;次令从1至5报数,记下末卒所报之数;再令从1至7报数,又记下末卒所报之数,这样就可以知道这队士卒的人数。”这个问题后来载于《孙子算经》三卷的下卷中(孙子及《孙子算经》一书的年代。

π是无理数的一个简证

设π是有理数,即它为二正整数a与b的商a/b:作多项式: f（x）=（xn（a-bx）n）/n., F（x）=f（x）-f（2）（x）+f（4）（x）-…+（-1）nf（2n）（x）,这里正整数n将由后面来确定。因为n.f（x）是x的整系数多项式,且各项x的次数都不小于n,故对x=0时,f（x）及其各阶导数f（i）（x）的值均为整数,又因f（x）=f（a/b-x）,故对x=π=a/b时,它们的值也都是整数。于是由初等微积分的知识。