关于三个猜想的证明

本刊1986年第2期上《由“1+2”引出的猜想》一文,提出了如下的三个猜想: 猜想1 如果等差数列{a_n}是可分组的,则它的分组数列必为等差数列. 猜想2 数m是自然数列的一个分法的项差,当且仅当1+2+…+m=p^2. 猜想3 任何一个其和为完全平方放的连续自然数组,决定着一个可分组的等差数列,其分组数列为等差数列;而这样的连续自然数组的全体构成该分法中项差组的全体.而且,任何一个可分组的数列的分法都不是唯一的.

用距离公式求函数取值范围

叶年新老师在初等数学研究中辛勤耕耘十数年,著述颇丰,不幸于1992年1月10日逝世,享年46岁,特摘发遗稿一篇,以志纪念。

巧解一类方程组

应用“齐次线性方程组(n个未知量,n个方程)当系数行列式D≠0时仅有零解”的性质,可巧解方程组. 例1.

也谈基本不等式组的几何证法

[1],[2]文介绍了基本不等式组（2ab）/（a+b）≤（ab）1/2≤（a+b）/2≤（（a2+b2）/2）1/2的几何证法,本文再介绍几种几何证法,这几种证法都很简单,它们与[1],[2]文的证法比较起来,直观性更好,并且比[1]、[2]文还多证了一种平均值。

由一道趣题所想到的

有这样一道趣题: 如图1,AmB是半圆,Am1B1、B1m2B2、…、Bn-1mnB是n个相等的半圆. 问:AmB与Am1B1+B1m1B2+…+Bn-1mnB哪个长? 答:一样长.证明如下:

由f（x）=f-1（x）到f（x）■af-1（ax+b）+b

关于方程f（x）=f-1（x）的解法,已有好几个杂志对它进行了探讨,这里我们来进一步探讨f（x）（?）af-1（ax+b）+b的解法。定理1 若f（x）在定义域上严格递增,其值域为R,a】0,则 f（x）af-1（ax+b）+b与f（x）■ax+b同解。证明这里仅证f（x）】af-1（ax+b）+b与f（x）】ax+b同解,

纯虚数的一个性质及其应用

从复平面上看,纯虚数显然有如下性质 z(z≠0)为纯虚数的充要条件是:对任意非零实数a,|z+a|=|z-a|。此性质可用来求解某些模方程(组)。例1 解方程|z+4|i-|z-4|i=6z+5i。解由方程知,z为纯虚数。且z≠0。据性质,|z+4|=|z-4|。∴原方程为0=6z+5i。∴z=-(5/6)i。例2 解方程(|z+9|-|z-9|)~2+|3z-4i|=0。

一类特殊方程与不等式的简捷解法

我们约定:用符号∨表示】、【、≥、≤、=中的任一种,∧表示∨的反向,当∨表示=时,∧仍表示=。定理若F(x)为R上的严格递增(严格递减)的函数,f_i(x),i=1,2,…,n均为实数域R上的函数,则 sum from i=1 to n F(f_i(x)+g(x))∨sum from i=1 to n F(f_i(x))与g(x)∨0(g(x)∧0)同解。证明这里仅证F(x)为严格递增函数,∨为】时,sum from i=1 to n F(f_i(x)+g(x))】

关于代数的短文十二篇

公式Cn+1m=Cnm+Cnm-1的一个应用利用组合数性质公式Cn+1m=Cnm+C=nm-1可以求形如{n（n+1）…（n+k-1）}的数列的前n项和Sn。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n（n+1）（n+2） 解:1/3.S=1·2·3/3.+2·3·4·/3.…+n（n+1）（n+2）/3. =C33+C43+…+Cn+23=（C44+C43）+C53+…+Cn+23 =（C54+C53）+C63+…+Cn+23=…=Cn+24+Cn+23 =Cn+34=n（n+1）（n+2）（n+3）/4.,

试论如何求方程组(F(x,y)=0 F(y,x)=0)的实数解——兼纠正一个流行的错误

关于 f（x）=f-1（x）型方程的解法,本刊1984年第4期和1985年第1期都有文章或读者来信论及。现又收到罗增儒等同志的稿件,对此作了更为详尽的讨论,本刊就其中数篇（以罗增儒稿为基础）作了综合与修改,供广大读者参阅。

球面面积公式的又一推证

《立体几何》第二章2.5球中,在求球面面积时,是先作球面的一系列内接圆锥、圆台,然后得出球面面积公式。我经过钻研后发现,球面面积公式也可通过作一系列侧面与球面相切的圆柱、圆锥、圆台而得到。现把我的推导介绍如下: