具有正数量曲率度量的Quasitoric-流形

对于任何单连通n维(n≥5)闭流形,如果不是Spin-流形,都允许有正数量曲率的黎曼度量。Spin-流形允许这样的度量当且仅当其Atiyah-Milnor不变量为0.对任意2n维quasitoric-流形π:M^(2n)→P^(n),设F(P^(n))={F_(1),…,F_(m)}是P^(n)中所有余一维面的集合,Z[F_(1),…,F_(m)]/I_(Pn)是P^(n)的面环,且λ(F_(j))=(l_(1j),…,l_(nj)),j=1,…,m是P^(n)的示性函数。令θ_(i):=li1F_(1)+…+l_(im) F_(m),1≤i≤n,J_(Pn)表示由θ_(1),…,θ_(n)生成的Z[F_(1),…,F_(m)]中的理想。关于M^(2n)的上同调环和Stiefel-Whitney类,有H∗(M^(2n),Z)=Z[F_(1),…,F_(m)]/(I_(Pn)+J_(Pn)),ω(M^(2n))=j∗Πi=1 m(1+Fi)mod 2,可知M^(2n)带有Spinc-结构,这里c=j∗Πi=1 m(1+Fi).当n=4k+2且M^(2n)是Spinc-流形时,设B是M^(2n)的一个子流形且[B]∈H8k+2(M^(2n),Z)是c的Poincaré对偶。文章利用张伟平[7]给出的Rokhlin-同余公式,计算了B的Atiyah-Milnor不变量,并给出了该不变量为0的一个充分必要条件。计算主要利用了如下结论:对于quasitoric-流形π:M^(2n)→P^(n),取P^(n)的任意顶点υ=F_(1)∩…∩F_(n),则有[F_(1)…F_(n)],[M^(2n)]=±1,其中[M^(2n)]是基本类。

Quasitoric-流形的最高维上同调的生成元的组合描述及其应用

对任意quasitoric-流形,π:M^(2n)→P^(n),其上同调环表示为H^(*)(M^(2n),Z)=Z[F_(1),F_(2),...,F_(m)]/(T_(pn)+J_(pn)),其中F(P)={F_(1),F_(2),…,Fm}是P^(n)中所有余一维面的集合.任取P^(n)的顶点v=F_(i1)∩F_(i2)∩…∩Fin,我们证明了<[F_(i1)F_(i2)…F_(in)],[M^(2n)]>=±1,即[F_(i1)F_(i2)…Fin]是H^(2n)(M^(2n),Z)的生成元.我们进一步利用这一结论讨论quasitoric-流形的刚性问题,并证明如下结论:若f^(*):H^(*)(M_(1)^(2n),Z)→H^(*)(M_(2)^(2n),Z)是一个环同构,则存在一一映射f:Fix(M_(1)^(2n))→Fix(M_(2)^(2n)),这里Fix(M^(2n))是T^(n)-作用在M^(2n)上的不动点.