关于二重数

a+bj称为二重数,其中a,b是实数,j^2=1。本文着重论述二重数的概念、性质和方程z^n=a+bj的根的问题。

关于二重数

引言数学界曾经有些人对 a+bj(j^2=1)这样的数有不同的意见。有的认为是一种新发现或取名为“非正统复数”,有的则认为 j^2=1导至 j=±1,a+bj 何能成为新数,甚至是认为一种歪门邪道,荒诞不经的东西。凡此均属于视野广狭问题。忆在五十多年前。

关于杜拉克的《极限环论》

代序Ⅰ§1法国数学家杜拉克(H.Dulac)(1870—1955)在1923年发表的长篇论文“极限环论”是一篇知名文献。在这篇论文中,杜拉克推广了邦加赖(H.Poincare)关于极限环个数有限的定理,去掉了邦加赖所加的限制,即在无通过鞍点的极限环存在的这一限制之下有限性定理才能成立。当时许多数学家,包括知名的班狄克生(I var Bendixon)在内,都曾为去掉这个限制而努力,但统归无效。杜拉克这篇论文,却终于成功地去掉邦加赖的限制而证明了这个定理,并因此而名噪一时。法国函数论专家朱利亚(G.Julia)在他于1955年为杜拉克所作的悼词中写道:“还要谈的就是关于微分方程实解答研究中全局观点的一个结果。人们都知道极限环的重要性,但除它们的存在性以外,关于它们的精确决定,甚至它们的数目的限度,都知道得很少。邦加赖曾经宣述过一个重要定理:‘极限环数目是有限的。

二重数几何的一些性质

在“关于二重数”(见《韶关师专学报》一九八六年第四期)一文中,已经谈了二重数一些性质,现在转而谈二重数几何。但本文不准备对之作公理化的叙述,只是任笔所之的一种尝试,主要以朴素的几何语言来解释代数结果。在实二重数 z=x+yj 平面,坐标轴的分角线分 z 平面为 A,B,C,D 四区域。

极限环论

第一部分通过鞍点邻域的环线11.进行步骤——首先运用在鞍点邻域有效的变数变换,以建立可能给与微分方程的简单形式。这些简单形式,便于证明微分方程一种通积形式的存在性。这种通积形式,在鞍点邻近的实域内有效,同时也建立这个积分的一些性质。借助于它,我们将得通过鞍点特征线的一条邻近特征线的对应法则。意思指的是,在特征线 C0上给定一段弧 M0M01,假设它只包含一个鞍点,又考究交 C0于 M0和 M01

极限环论

引论1.问题的陈述,——微分方程X（x,y）dy+Y（x,y）dx=0所定义的一条实曲线叫做特征线（Caracteristique）为了便于陈说,暂设 X,Y 是 x,y 的多项式,闭的特征线就是环线（Cycle）。从邦加赖（H.Poincaré）和班狄克生（Ivar Bendixon）对这个微分方程所定义的曲线的研究得到下列结果:A.用一个参数的函数来表示曲线 S 弧上点的坐标,并设 M0和 M 是 S 上两邻点,分别对应参数的 t0和 t 值,假定从 M0和 M 出发有两条相邻的特征线 C0和 C1,它们沿相同切向,重新交 S 于 M0′和 M1′其参数值分别为 t0′和 t′。如果 C0的 M0M0′弧不含有微分方程任何奇点,而且如果 C0不切 S 于 M0′。