正弦定理和余弦定理互推的几种方法

大家都知道，正弦定理和余弦定理在解决有关三角形的一些问题时，用途很大。这是因为这两个定理都具体深刻地反映了三角形内边角之间的定量关系；同时在这两个定理本身之间也存在着极为密切的联系。下面就介绍这两个定理之间互推的几种方法，从而深刻理解它们之间的关系。

前n个自然数平方和公式的一个几何证法

在自然数列中,前几个数的平方和公式是大家都熟悉的,同时也有不少证明该公式成立的方法。现在我们还可以用下面这种几何方法加以证明。 取两个互相垂直的直线OA和OB,并且选取任意的线段为单位长。在横轴OA上,从点O开始相继截出长度为1,2,3,4,……n的线段。再在纵轴OB上,先截出一个长度等于1的线段,然后再截出n-1个线段,使每一个线段的长度都等于(2/3)。(如下图) 我们再过OA轴上和OB轴上的每一个分割点,分别引平行于OB与OA轴的直线,这样就得到n个交点。因此,我们就得到一个边长为1的正方形和n-1个大小不同的六边形。 我们可以证明,这一个正方形的面积与n-1个六边形的面积之和正好等于前n个自然数的平方和。 [证明]:在n-1个六边形中,我们任取其中一个六边形MNTPQR,并令这个六边形MNTPQR的边MN之长为K,并作RS'//OB交PT于S点。(如下图)。