面积测量中值得重视的“知一求二”

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在第二学段的学段目标中新增加了“面积测量”的内容。在面积测量中,“用面积为1平方厘米的正方形构造出面积为2平方厘米的正方形”是一个历史难题,具有丰富的课程价值。从课程内容的角度看,蕴含着二次函数、无理数、代数运算以及数形结合的内容;从学生概念转变的角度看,是学生从线性思维转变为非线性思维、从有理数进化为实数的认识、从算术运算拓展为代数运算的过程;从学生发展的角度看,在面积测量过程中学生有机会经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程,同时也经历了“为什么不”这样证伪的思维过程。《美诺篇》中苏格拉底与小童奴的对话,表明让学生经历这样面积测量的过程是可行的,因此在教科书编修以及教学中,应当关注面积测量与长度测量的差异,对面积测量中“知一求二”探究活动设计给予足够的重视。

“强度量”的意义与认知规律

量表示物质的“多少”与“大小”,在数学教育中常将量分为离散量与连续量,在历史中量还可以分为广延量与强度量,其中强度量的大小是由两个广延量的比来衡量的,对培养学生的量感有重大意义。儿童强度量概念的发展经历了从单一维度过渡到多维度综合考虑的过程,儿童在理解强度量时可能会存在认知困难:难以理解反比关系;难以理解不同量之间的关系;难以理解强度量的不可加性;难以从直观感知层面过渡到反思抽象层面。对此,教师要建立“关注认知发展,培养关系思维;强调定量推理,培养量感;注重具身体验,培养抽象能力”的教学策略,以促进学生对强度量知识的深度理解。

如何理解“数量关系”

数量关系是数学课程中的重要内容之一,基于文献考察,解读数与量及数量关系的内涵,可知数量关系是学生通过定量运算在头脑中建构的关于量之间的关系结构,而数是用来计算量的值的工具。从量的角度认识和思考世界对学生发展意义重大,定量推理不仅是有效解决问题的一种方法,更是一种思维方式,通过关注数学问题中的量及量的关系,学生能够深刻地理解问题的本质,发展数学理解和推理的能力。在数量关系的教学中,教师应引导学生正确识别情境中的量,并通过定量运算构建定量关系,从而发展定量推理的能力。