从考研角度浅析教学改革——以“高等代数”为例

我们给出了一道高等代数考研试题的解答,通过对这道题的详细分析,结合自身的教学实践,提出了如何教好“高等代数”课程的一些看法,旨在提高教学效果,进一步完成立德树人的根本任务。

高等数学教学方法的探讨

高等数学是理工类专业和经济管理类专业中一门非常重要的基础课,在培养学生逻辑思维能力和科学处理问题能力方面发挥着不可替代的作用.对于高等数学教学方法的探讨也是一直持续不断.同时,对高等数学教学方法进行改革和研究也是新课程改革的要求,是提高教学质量的重要举措.本文主要从高等数学的实践教学中存在的问题出发,结合新时代的培养理念,提出了若干建议.

翻转课堂在代数类课程中的应用研究

代数类课程是大学理工科的基础课程,其特点是抽象性强,课堂枯燥乏味.因此,对于代数类课堂教学的改革势在必行.翻转课堂是近年提出来的颠覆性教学模式,它将教学中心由老师转向学生,能有效提高学生的参与度从而改进课堂教学.基于此,以线性代数中"矩阵的乘法"为例结合微课视频应用翻转课堂模式进行教学实验,实践表明翻转课堂在一定程度上能有效的提高课堂效率.

高等代数课程教学的思考

高等代数课程是数学专业的核心基础课程,其特点是概念抽象,课堂内容多且很难找到具体背景。因此,高等代数的教学往往枯燥乏味,是学生的畏途。本文根据教学经验,对《高等代数》的课程教学做了一些思考。

矩阵合同与矩阵相似的教学探讨

矩阵合同与矩阵相似是高等代数中两个很容易混淆的概念,也是研究生入学考试中数学科目的常考知识点.为了更透彻理解这两个概念,通过剖析两者的定义,探讨两者之间的关系并结合例子加以说明,加深学生对这两个概念的理解.并利用信息技术手段,将讲解过程录制成微课视频,让学生利用课余时间去学习和消化吸收,达到事半功倍的效果.

三角范畴中的函子有限子范畴

基于函子有限子范畴的重要性,利用图追踪的方法,从mutation对出发,得到了一类函子有限子范畴,具体而言是,设T是一个三角范畴且带有Serre函子,D是T中的一个函子有限的刚性子范畴.如果(X,Y)是一个D-mutation对,则X是T中的函子有限子范畴当且仅当Y是T中的函子有限子范畴.

丛倾斜子范畴的一个等价刻画

利用三角范畴的八面体公理,给出了2-Calabi-Yau三角范畴中丛倾斜子范畴的一个等价刻画,最后给出了一个简单的应用.

n次单位方根的教学思考

本文给出了高等代数教材中一道课后习题的详细解答,结合教学经验提出本题的讲解技巧和方法,从而加深学生对该题的理解,帮助学生巩固相关知识.

近世代数课程的教学探讨

近世代数课程教学在内容上要注重抓主线和知识的应用价值,加强与高等代数相关知识的联系;在教学方法上要以具体实例引入课堂,联系前后知识形成知识系统,引发和鼓励学生主动学习的热情。

一道高等代数考研题引发的教学思考

本文从一道高等代数考研题出发,结合自身的教学实践,就如何教好高等代数这门课程,如何激发学生的主观能动性、学生的创新能力和逻辑推理能力提出了一些建议。

外部三角范畴的丛倾斜理论

丛倾斜子范畴是三角范畴的一类非常重要的子范畴,现已成为代数表示论研究的热点问题.而外部三角范畴是三角范畴和正合范畴的推广,本文利用同调的方法,建立了外部三角范畴的n -丛倾斜子范畴与它的稳定范畴的n -丛倾斜子范畴之间的一一对应,并给出了一些简单应用.

外三角范畴的同调系统

在外三角范畴中,本文引入同调系统Θ(又称为Θ-系统)的概念,此概念统一了模范畴的分层系统和三角范畴的同调系统.本文证明了一个Θ-系统能够唯一地确定一个Θ-投射系统.给定一个Θ-投射系统(Θ, Q,≤),本文也证明了滤链多样性不依赖于滤链的选择,建立了所有Θ-滤对象构成的子范畴■(Θ)和模范畴mod(B)中的所有△-好模构成的子范畴之间的同构,其中B是标准分层代数.

稳定范畴与三角等价

外三角范畴是三角范畴和正合范畴的推广,很多重要的结论都能统一在这个框架下.本文通过外三角范畴中的理想商实现了模型结构诱导的局部化商,即建立了这两种商范畴之间的三角等价.与此同时,也将此结果应用到Frobenius正合范畴、环R的同伦范畴和Gorenstein对象的稳定范畴.

n-正合函子诱导的(n＋2)-角函子

设(A,X)和(A′,X′)是两个Frobenius n-正合范畴,F:A→A′是n-正合函子.如果F把A中的X-内射对象映为A′中的X′-内射对象,则F诱导了稳定范畴间的一个(n+2)-角函子F:→A′.此外,本文将这个主要结果应用到伴随对和Galois覆盖函子上.

由外部范畴产生的三角商范畴

本文在外部(extriangulated)范畴的框架下给出了三角商范畴的一种构造,具体而言,给定外部范畴ζ中有包含关系的两个子范畴A和X,若它们满足适当的条件,则商范畴A/[X]是三角范畴.此结果统一了Iyama和Wemyss (2013)在三角范畴框架与Zhou和Zhu (2018)在外部范畴的突变(mutation)框架下的已有工作.

斐波那契数列在表示论中的几类范畴化及其在复杂度上的应用

本文给出斐波那契数列和广义斐波那契数列在代数表示论中的范畴化的几个例子.作为应用,利用斐波那契数列的指数增长性的方法证明外代数的斜群代数的有限生成模范畴modΛV*G的子范畴并不一定保持复杂度.

幂等子代数上的支撑τ-倾斜模

设A是数域k上的有限维代数, e是A中的幂等元.本文证明了,如果A/AeA是左投射A-模,则有限生成右eAe-模T是支撑τ-倾斜模当且仅当T■eAe eA是A上的支撑τ-倾斜模.另一方面,如果A是遗传代数, T是支撑τ-倾斜A-模, A/AeA是右投射A-模,则Hom_(A)(eA, T)是支撑τ-倾斜eAe-模.作为应用,本文证明了,若代数A是τ-倾斜有限的,则幂等子代数eAe也是τ-倾斜有限的.

支撑τ-倾斜模和支撑倾斜模

设Λ是一个有限维代数.本文证明了任意支撑倾斜Λ-模是支撑τ-倾斜Λ-模.反之,任意投射维数小于等于1的支撑τ-倾斜Λ-模是支撑倾斜Λ-模.特别地,如果Λ是遗传的,则任意支撑倾斜Λ-模恰好是支撑τ-倾斜Λ-模.