关于ρ=±（x2+y2）1/2中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ2=x2+y2。故ρ=±（x2+y2）1/2。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=（x2+y2）1/2的情况。例1.化极坐标方程eρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=（x2+y2）1/2。由eρ=2+cosθ得ρeρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 （x2+y2）1/2e（x2+y2）1/2=2（x2+y2）1/2+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。

论合情思维

论述了合情思维的意义、类型．它与人类科学事业发展及当今人才培养的关系．以及在数学教学中培养合情思维的一般途径．

“情理之中与意料之外”的猜想与探索

数学素质教育有多种素材,而作为问题解决中的猜想、探索、发现,在培养学生数学素质的教育中占有显著重要的地位.特别是,当依据思维中原有的情理对某种数学对象作出猜想.经研究、探索后发现其中不合理或不完善的部分,进行修正而有所新的发现吋,往往会使人心情振奋.这种心情是提高思维素质的良性刺激.在文艺创作上常讲究“情理之中,意料之外”的艺术效果,在教学上也同样如此.这种由原先的“情理之中”经研究发现却在“意料之外”,通过修正成为更高层次的“情理之中”的成功常会使学生产生可贵的激情,而这种不深不浅,不偏不怪的教学素材要靠我们去发掘.以下试举两例: 例1 A、B两定点在定直线l的同侧。

运用教学素材进行探索性思维

在教学中要引导学生进行探索,就离不开适合于学生探索的素材。作为教学用的探索性素材应具备易启发、易进入、易成功、易运用的特色。素材的组建应该建立在教师对教材认真钻研的基础上,因为这样组建的素材教师才能灵活驾驭,这就给教学研究开辟了广阔的天地。

设计比原命题更强的命题——一种运用数学归纳法的技巧

运用数学归纳法有时为了第一步容易验证或第二步方便归纳,有时为了能利用原题未明确给出的某些条件,而要去设计一个比原题结论更强的命题,在证明了这个命题的情况下相应地证明原题,这种方法我们把它叫做加强命题法。这是数学归纳法的一种特殊技巧。加强命题法的关键在于如何设计所需要的比原题结论更强的命题。作为教学,这种设计不仅要使学生知其然,而且要使他们知其所以然。因此证明之前的分析是至关重要的。例1 试证,对任何自然数n≥2,关于x。

青蛙跳步问题的另一深究

1985年“五四青年智力竞赛”有一个青蛙跳步问题:地面上有A、B、C三点,一只青蛙位于地面上距C为0.27米的P点处,青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P1,第二步从P1跳到关于B点的对称点P2,第三步从P2跳到关于C点的对称点P3,第四步从P3跳到关于A的对称点P4,……,按这种方式一直跳下去,若青蛙在第1985步跳到了P1985,问P与P1985相距多少厘米?

从必要条件的一次争论谈起

某中学的一次数学教研会上对一个题的解法出现了争论。题:两条不同的直线l1和l2的斜率k1=k2是l1∥l2的什么条件?（用充分、必要回答） 两部分人对条件的必要性分别提出了如下两种不同解法和结论。解法1 充分性显然。关于必要性。由于l1∥l2时,斜率可能不存在,所以不一定有k1=k2,于是条件不必要,因此结论是充分但不必要的条件。解法2 充分性显然。关于必要性,研究必要性只要研究充分性命题的逆命题即可。我们改成研究与逆命题等价的否命题,即考察命题“

谈数学分析起始课的几点意见

本文提出了在教学分析起始课中要注意与中学课程的内容做好衔接,指出某些概念叙述上的异同,适当扩展中学教学的某些概念,提高部分习题的探究含量,用三步教学法教学极限、连续等重要概念。指出dy与△y近似与相等的辩证关系,强调可微与可导等价的前提等。