一类平面图消防员问题的边存活率

设G是一个有n个点m条边的连通图.假设火在图G的一条边uv的两个端点燃起,消防员保护若干个没有着火的顶点,火接着蔓延到其他未保护且没有着火的邻点,火和消防员交替地在图G上移动.设sn(G,uv;(k1,k2))表示当火在边uv的两个端点燃起时,消防员采取第一步保护k1个点,后面每步保护k2个点的策略所能救下的最大顶点数.定义图G的边存活率ρ(G,e;(k1,k2))=∑uv∈E(G)sn(G,uv;(k1,k2))/nm,即当火随机地在图G的一条边的两个端点燃起时,消防员最多能救下的顶点数的平均率.本文证明了如果G是一个至少有3个点且最小度至少为3的不含4-圈连通平面图,那么ρ(G,e;(4,2))>7/705.

IC-图的存活率

设G是一个有至少2个顶点连通图.当火在G的某个顶点v处燃起时,消防员可以选择k个顶点进行防护.接着在每次时间间隔内,火源传到那些未被防护下来的着火顶点的邻点.火源与消防员交替移动直到火无法传播.消防员的任务是尽可能救多的顶点.图G的k-存活率定义为G的顶点随机着火时消防员一次可以救k个顶点的整个防火过程可救下的顶点的平均存活率.首先把IC-图转化为平面图,然后在平面图上运用权转移方法,证明了:每一个IC-图的5-存活率大于1*10.

广义皮特森图P(n,1)和P(n,2)的燃烧数

主要研究了广义皮特森图P(n,1)和P(n,2)的燃烧数.运用反证法和构造法进行推导证明,得到了当n≤13时,P(n,k)燃烧数的精确值;刻画了P(n,1)的燃烧数;以及P(n,2)燃烧数达到紧的上下界的充分条件.所得结果进一步加强了现有的结果.

C_2(4,k)中的强支撑可迹图

设2≤h≤3,l>0,k≥0是整数,C_h(l,k)是由h-边连通简单图组成的集合,图G∈C_h(l,k)当且仅当对图G的任意一个二边割或三边割X,图G-X的每个分支都至少有︱V(G)-k︱/l个点.设e=u_1v_1和e'=u_2v_2是图G的两条边.若e≠e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1和e'=u_2v_2分别用路u_1v_ev_1和u_2v_e'v_2替换得到的图(其中,v_e,v_e'是不在V(G)中的两个新的点).若e=e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1用路u_1v_ev_1替换得到的图,也记作G(e).若对任意的e,e'∈E(G),G(e,e')都有支撑(v_e,v_e')迹,则称图G是强支撑可迹的.作者证明了,若图G∈C_2(4,k)且|V(G)|>5k,则要么图G是强支撑可迹图,要么存在e,e'∈E(G),使得G(e,e')可以收缩成一个有限图类F中的图.当k=4时,F被完全确定了.

一类稀疏图的边存活率

目的:研究最小度为2且平均度有界的连通图的边存活率。方法:利用图染色理论中的经典方法权转移进行推导证明。结果:得到了如果G是一个有n个点m条边且最小度为2的连通图,满足m≤(6/5-ε)n,其中0<ε≤1/5,那么图G的边存活率ρ′(G)>5ε/6-5ε。并由此推得如果G是一个最小度为2且围长至少为13的连通平面图,那么图G的边存活率ρ′(G)>1/65。结论:若图G是一个最小度为2且平均度小于2.4的连通图,当火随机地在图G的任意两个相邻的顶点燃起时,1个消防员最多能保护的顶点数的平均值为正。

不含5-圈平面图的边存活率

目的:主要研究最小度至少为3且不含5-圈的连通平面图的(4,2)-边存活率。方法:主要利用平面图分离定理和图染色理论中的经典方法权转移进行推导证明。结果:得到了如果G是最小度至少为3的不含5-圈的连通平面图,那么图G的(4,2)-边存活率至少为1/62。结论:当火随机的在最小度至少为3且不含5-圈的连通平面图G的两个相邻顶点燃起时,消防员采取第一步保护4个点,后面每一步保护2个点的防火策略,使得最后获救的顶点数的平均值至少为图G顶点数的1/62。

NIC-平面图的存活率

假设火在图G的某个顶点燃起,消防员每步最多可以防护k个顶点,然后火蔓延到所有未被防护的邻点.当火随机地在图G的一个顶点燃起时,消防员最多能防护的顶点数的平均比率称为图G的k-存活率,记为ρk(G).如果图G能画在平面上使得每两对交叉边至多有一个公共顶点,那么称G是NIC-平面图.本文证明了NIC-平面图G有ρ5(G)> 1/73.

图的存活率与消防员问题

消防员问题可视为传染病、火灾、谣言、计算机病毒等传播的一个简化模型.假设一把火在一个图的某个点或多个点燃起,消防员选择若干个未着火的顶点进行防护,然后火蔓延到前一步着火点的未燃邻点.当火不再蔓延时整个过程结束.消防员问题自1995年提出以来引起了人们的广泛关注.本文简述了与消防员问题相关的最近研究进展,包括算法复杂性、无限图和有向图的消防员问题、图的存活率、图的燃烧数及一些有待于进一步研究的问题.