赏析2005年数学高考中的能力型创新试题

近年来，随着课程改革的深入，全国各省、市的高考数学命题，汲取新课程的新思想、新理念，年年创，岁岁新，涌现了一大批格调清新，立意新颖，设计独特的能力型创新试题，本文采撷2005年数学高考试题中的一部分，与读者共赏．

巧添“催化剂”妙证不等式

在某些化学反应过程中，适量添加催化剂能加速化学反应的进程，而催化剂本身又能以等量的结果得到“还原”．在某些数学解题的过程中，也会出现类似的现象，即根据题意适当添加一些数或一些项，能加速数学解题的进程，且这些数或项又能以等量的结果得到“还原”，这些数或项与化学反应中的催化剂有相同的作用．本文例谈在不等式证明的过程中，添加这样的“催化剂”，巧妙地证明不等式．

第二届WMTC(青年组)团体赛第八题命题历程

笔者受第二届世界数学锦标赛组委会的邀请，为第二届世界数学锦标赛就高中内容拟题15则，其中有四则题目被竞赛组委会录用，它们是（青年组）团体赛试题的第3，7，8和20题．下面就第二届世界数学团体锦标赛（青年组）团体赛试题中的第8题谈谈命题历程，希望对大家有所帮助．

解数列竞赛题的两种策略

数列问题是高中数学竞赛中的热点问题,具有题型灵活多变、易与其它知识交汇、解答能力要求高的特点.因此,解数列竞赛题学生普遍感到比较困难.分析近几年的高中数学竞赛中的数列试题,发现归纳与化归是解这类问题比较有效的两种策略,下面以历年的高中数学竞赛题为例,加以说明．

一道高考题的探究

问题，（2009年辽宁卷第20题）已知，椭圆C过点A（1,3/2），两个焦点为（-1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

成堆的蘑菇怎样去发现——认识函数对称性与周期性关系的研究性学习

美国数学教育家波利亚说过：找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别能力和好运气．但是，当我们成功地解决了一个好问题之后，我们应当去寻找更多的好问题．好问题同某些蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有好几个．

一道高考题的多解与多变

在历年的全国高考试题中，有许多题目内涵非常丰富，如果我们能认真的加以挖掘，不仅能完善我们的知识结构与认知结构，而且能培养探究能力、创新能力和实践能力，下面就2003年的一道全国高考文科试题加以说明．

一道解析几何范围题的解法探究

题目 已知椭圆x^2/3＋y^2/2=1，点F是椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆于A，B两点，交椭圆的右准线于C，若^→AC=λ^→BC，其中λ〉1，求实数λ的取值范围．

怎样使解题简单自然

数学家庞加莱说：数学的优美感不过是问题的解答合乎我们心灵需要产生的一种满足．简单、自然、直接、明快地解决问题正是我们追求问题解决的最佳途径，给予心灵满足的一种真实体现．下面以《数学通报》中的数学问题为例，就解题简单自然的途径谈一些个人浅见．

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目：已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2=b2的最小值是___ （第二十一届“希望杯”高二第2试） 本文从二个角度对问题进行研究，先对问题作一题多解，然后对问题作多方面变式，供大家参考．

一道数学竞赛题的解后反思

此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题，竞赛组委会给出的标准答案如下：

解高中数学竞赛中周期问题的常用策略

周期性是函数的重要性质，周期问题往往以背景新颖、较为抽象，颇受竞赛命题者的青睐，笔者选择近几年高中数学竞赛中的典型例题加以阐述．

两个数学问题的研究

盛宏礼老师在《数学通报》数学问题与解答栏提出如下两个问题：

一类非线性递推数列问题的三角解法

我们知道,由数列的非线性递推式确定其通项或其他性质,一般来说是较困难的.在众多非线性递推数列问题中有这样一类递推数列问题,给出的递推式的结构与三角函数中某些三角公式或三角恒等式的结构相同,对于这类问题,我们可以类比有关三角公式及三角恒等式,通过三角代换,借助于三角运算使问题完美而精巧地得到解决,下面选择一些典型问题,分类予以阐述.

一道代数不等式的探究

宋庆先生在《数学通讯》上半月学生刊2011年第5，6合刊的问题征解栏中，提出了如下代数不等式：

从一个三角不等式谈起

在△ABC中有常见的不等式cosA＋cosB＋cosC≤3/2（1），文中的符号约定：△ABC的三边长为a，b，c，半周长为s，面积为△，外接圆和内切圆的半径为R，r．

一个分式不等式的探究

文[1]提出了如下问题：若0〈θ〈π/2,f（θ）=sin^2θ/sin^4θ＋cos^2θ＋cos^2θ/sin^2θ＋cos^4θ,试求函数f（θ）的最大值。

一道高考压轴题的简解

问题（2011年高考数学试题（浙江卷）压轴题）设函数，（x）=（x-a）^2lnx，a∈R．

运用柯西不等式解题的变形技巧

柯西不等式：设a1，a2，…，％，b1，b2，…，bn∈R，则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）·（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2。

运用均值不等式解题的变形技巧

均值不等式:设a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+…+an/n≥√a1a2…an 当且仅当a1=a2=…=an时,不等式等号成立. 学生在应用时,最感困难的是怎样变形来沟通待解决的问题与均值不等式之间的联系,确实应用均值不等式解题是以适当的变形为基础,可以说恰到好处的变形是应用均值不等式解题的关键.为此,本文归纳运用均值不等式解题的变形技巧,供参考.