Cauchy不等式的拓广

我们知道,对于任意实数a1,a2,……an,b1,b2,……bn,不等式 （a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2） （1）叫做Cauchy不等式。这是一个基本的不等式。由它可以得到很多重要性质。 这个不等式在n维欧氏空间V中,既具有普遍性,又具有特殊性.其普遍性在于,对于V中给定的内积,任取V的一个标准正交基{a1,a2,……,an}。

正定、半正定矩阵在线性代数中的一些应用

1 引言 我们知道,正定、半正定矩阵来源于二次型。在一般的高等代数教科书中占有重要的地位。但限于教学大纲,它们的应用没有充分地展示出来。本文介绍它们在线性代数中的一些应用。

解题一得

行列式的计算技巧性强,方法很多。至于何种题目用何种方法,没有固定的模式。只能从实际出发,具体问题,具体分析。有的题目路子较多,容易得手。有的题目路子较少,比较费力。还有的题目道路崎岖,将欲取之,必先与之,想化简,必先繁,看来还要用一点“孙子兵法”,辩证思维才能解决问题。

关于向量空间F^n中求向量组的极大线性无关组的几种方法

定义1 向量组α1,α2,αs的一个部份向量组αi1αi2,…,αir叫做它的一个极大线性无关组,如果 （i）αi1,αi2…,αir线性无关, （ii）每个αk（k=1,2,…,s）都可由αi1,αi2,…,αir线性表示。

矩阵方程和线性方程组

现讨论线性方程组求解问题时,我们曾以矩阵为工具解决了它在什么情形下有解以及如何求解等问题。这里,我们反过来用线性方程组的理论,讨论数域F上的矩阵方程AX=B,CY=D在有意义的前提下,适合什么样的条件有解以及如何求解等问题。

师专学生自我教育的一种好方法——指导学生试做班主任工作的体会

三年制师范专科学校的主要培养目标是合格的初中师资。作为地区性的师范专科学校,大多数学生来自农村和城镇。思想比较单纯,作风比较质朴,学习比较刻苦。但随着改革、开放的深入,受时代潮流的影响,思想比较活跃,尤其进入高年级后,自我追求比较突出。对传统的教育方式和管理不满意,对教师的经济地位和社会地位不满意,怕在农村中学长期工作,恋爱、婚姻问题不好解决。表现为学习动力不足,纪律松懈。部分人有文凭到手,谋个职业,找个对象,成家立业,听天由命的思想。这就使得教育工作和管理工作格外费力。

关于多项式的定义

多项式理论在代数中占有十分重要的地位,并在数学的各门学科中有着广泛的应用。而多项式的定义又是多项式理论最基础的东西。鉴于数学本身的发展和教学上不同的需求,就使得多项式的概念在中学、大学代数课本里有不同的定义。如在我国1982年出版的统编初中《代数》第一册中,把多项式定义为几个单项式的和,在这样的和式的项中,有作为数字出现的系数,有字母的非负整数次幂与数字系数的积。至于字母是不是数。

实二次型在多元实函数求极值问题中的两点应用

一、极值点的充要条件 若实函数f（p）=f（x1,…,xn）在点p0（x1（0）,…xn（0））的邻域D内有定义,且在0≤ρ（P0,P）<D内连续并有一阶及二阶连续偏导数,由泰勒公式及拉格朗日中值定理有 f（x1,…xn）=f（x1（0）,…,xn（0））-df（x1（0）…,xn（0））

代数中存在命题的存在性及其证明初探

一、存在命题是一只“拦路虎”学生从中学一跨进大学,学习高等代数就遇到一些比较抽象的概念,繁难的数学证明.对此,他们往往感到困难,束手无策.而其中最困难的,就是整数及一元多项式的整除性,向量的线性相关性这一类以存在命题形式出现的概念和有关的存在命题的存在性的证明.对于初学者来说,这确是一只拦路虎.如果能够引导他们逐步驯化这只拦路虎,无疑对于克服学习中的困难,培养兴趣,提高能力都是有益的.

用初等变换求几种广义逆矩阵的方法

从文(1)和(2)中,我们知道,对于给定的实数域上m×n阶矩阵A,若有适合Penrose方程:(1)AGA=A;(2)GAG=G;(3)(AG)~T=AG;(4)(GA)~T=GA的全部或一部分条件的n×m阶实矩阵G,都称之为矩阵A的广义逆矩阵。通常把适合Penrose条件{i、j…}(这里{i、j…}是{1),2),3),4)}的一个子集)的所有广义逆矩阵G的集合,记为A{1,j,…}。而且还知道,结果在A{1}中找到一个特殊广义逆A^-就可以写出A{i}的通式G=A^-+V(I-AA^-)+(I-A^-A)U,U、V任取,同样。

一道代数题解质疑

在多项式的因式分解中,有这样一个题目:证明:若f^2(x)|g^2(x),则f(x)|g(x)某高校的题解是这样的:“可设f(x),g(x)的分解式为:

命题的证明与举反例 条件的削弱与加强

严格的数学证明,是高等数学的一个重要特点,也是数学专业学生必须具备的一种最重要的能力.对此教师应当高度重视,从始至终,一抓到底.在目前的中学数学教科书中,尽管也讲了条件命题的四种形式,必要条件和充分条件以及一些等价命题,看来很多学生并没有很好掌握,以致在数学征明中常犯各式各样的错误.下面仅就《高等代数》中数与一元多项式整除性方面的问题略举几例.

关于多项式的定义

本文对多项式的定义,就高等代数与中学代数中关于多项式的定义的联系和差异,作了比较详尽的论述.

代数系统的幂等元

在一个代数系统中,它的代数式所具有的形式与这个代数系统的幂等元的存在情况有密切的关系。 设【S,+,·】是定义了两个二元运算“+”和“·”的代数系统,a仨S.若2a=a+a=a,对于运算“+”来说,a是S的一个幂等元。若a2=a·a=a,对于运算“·”来说,a是S的一个幂等元。 若在代数系统【S,+,·】中,S的每个元x对于这两种运算都是幂等元,则mx=x,xm=x,这里m是自然数,即x既没有系数,也没有次数。如在布系代数(B,-,+,·】中,B的每个元对这两种二元运算“+”和“·”都是幂等元,任取x1,x2,x3∈B,有（?）1,（?）2,（?）3∈B。象x1（?）2+（?）1（?）3,（x1+x3）x2这类既没有系数,每个元没有次数的代数式在布尔代数中才有意义。 若在代数系统【S,+,·】中,对于两种运算S有元x都不是幂等元,则x既有系数,又有次数。如在有单位元的环【R,+,·】中,R的零元对于这两种二元运算都是幂等元,R中的单位元1对于运算“·”是幂等元,除此之外,R可能有元x1,x2,x3对这两种运算都不是幂等元。于是形如3x1+x12、（-8x2）（6x15+2x3）这类既有系数,每个元有次数的代数式在环中是有意义的。 由此可见,探讨代数系统中幂等元的存在情况,是一件有意义的事情。下面,我们就从最简单的代数系统开始讨论。 1 幺半群与群的幂等元