一种场站设置问题的探讨

设 n 个点A_1,A_2,…,A_n∈R^m,记μ_n^m=|A_iA_j|)/|A_iA_j|,求 inμ_n^m 的值则是组合几何中的一个困难问题。本文给出 infμ_m^(m+1)、infμ_4~2、infμ_n^I 的值等,提出几个猜想。

广义Fermat数的两个性质及方幂性问题

本文给出广义 Fermat 数 F(b,m)=b^r+l 与 Fermat 数类似的两个重要性质,并证明广义 Fermat 数非k(k>1,k∈N)次方数等。

一种场站设置问题

研究了如下一种场站设置问题:设S是欧空间Rm中由有限个点A1,A2,…,An组成的集合,d(Ai,Aj)表示点Ai和Aj之间的距离.令σ(S)=1≤∑i<j≤nd(Ai,Aj),d(S)=1≤mii≠nj≤n{d(Ai,Aj)},μ(m,n)=dσ((SS))(SRm,|S|=n),infμ(m,n)=mindσ((SS))SRm,|S|=n.估计infμ(m,m+2)与infμ(m,n)等的值,证明infμ(1,n)=n+31C2n,infμ(m,m+1)=C2m+1.并提出了几个猜想.

一种场站设置问题中一个猜想的证明

本文研究如下一种场站设置问题:设S是欧空间R^m中由有限个点A_1,A_2,…,A_n组成的集合.d(A_i,A_j)表示点A_i和A_j之间的距离.令μ(m,n)=σ(S)/(d(S))(SR^m,|S|=n),infμ(m,n)=min{=σ(S)/(d(S))|SR^m,|S|=n}.估计infμ(m,n)的值.本文通过分类处理,区域控制,求边界极值等分析方法给出infμ(2,5)=9+2(3(1/2))等结果.

平面点集的一个极值问题

设S是欧氏空间Rm中由有限个点A1,A2,…,An组成的集合.d(Ai,Aj)表示点Ai和Aj之间的距离.令σ(S)=∑1≤i<j≤nd(Ai,Aj),d(S)=1≤mi≠inj≤n{d(Ai,Aj)},μ(m,n)=σd((SS))(S Rm,|S|=n),infμ(m,n)=minσ(S)d(S)S Rm,|S|=n.这里通过区域控制、求边界极值等分析方法证明:当平面五点为凸形顶点时必有μ(2,5)>9+2 3.此外还提出几个猜想.

同类元素不相邻的线与圆排列数的计数

设第1类有m1个元素,第2类有m2个元素,…,第n类有mn个元素.将这些元素进行排列,且同类元素不相邻,利用多项式反演公式求出不同的线排列与圆排列个数,进一步给出同类元素中有相同以及不同情形下的线排列数与圆排列数的计数公式.

祖冲之点集的一种简单构造方法

1990年冬季全国祖冲之杯数学邀请赛的最后一题是这样的。给出祖冲之点集的定义:在平面上由n个点所组成的点集,如果点集中的任意两点的垂直平分线都经过点集中至少一个点,那么这个点集就叫做n点的“祖冲之点集”。举出由5点和7点组成祖冲之点集两个例子,然后要求考生在平面上分别表示出6个点及10个点的祖冲之点集。标准答案说明,对n≥3的奇数个点的祖冲之点集是存在的,但对一般n】2的偶数个点的祖冲之点集是否存在?命题者未说清楚。

一种离散点集极值问题的几个结果

平面凸n边形A1A2…An中记μn=∑1≤i≠j≤nd(Ai,Aj)min1≤i≠j≤nd(Ai,Aj)(d(Ai,Aj)表点Ai与点Aj之间距离),证明了μn的最小值只有当各边长等于min1≤i≠j≤nd(Ai,Aj)时才能取得,且μn的下确界为15+33,下确界取得仅当凸六边形退化为等边三角形。还证明了等边凸六边形当任一对角线长不小于边长时,μn的最大值为12+63。

一个与Riemann假设相关的不等式的研究

运用分析的方法以及Chebyshev函数与素数定理的等价性质证明limn→+∞exp(Hn)log(Hn)-∑d|n(d)≥0,由此得到limn→+∞inf exp(Hn)log(Hn)-∑d|n(d)≥0。

扩充欧空间中单纯复形的一个计数问题

通过推广平图和圈的概念,给出平复形的概念.证明m=3时,对于具有a0个顶点的极大平复形K,其3维单形的个数为3a0-10;2维单形的个数为6a0-20;1维单形的个数为4a0-10;并猜想m≥2时,对于极大平复形K,其m维单形的个数为m(a0-m-1)+2.

广义Fermat数素性判定问题的几个结论

给出广义Fermat数F(b,n)=b^2~n+1当(b,3)=1的一(?)充要条件,并探讨F(b,n)素因子的某些规律。

关于数论函数方程d(n^m)=kd(n)解的探讨

本文用构造法指出:若k_0∈N使方程 d(n^m)=k_0d(n)有解,那么方程 d(n^m)=(m^sk_0-1)d(n)必有解。另一方面,给出方程 d(n^M)=kd(n)有解关于 k 的密率的定义,证明 r(2,x)=0.5等,提出了两个猜想。

一个代数定理及在组合数学中的应用

本文考察复变函数,(?)(r∈Z,l=2,x_j∈C)的罗朗(Laurent)展武,应用留数定理给出一个代数恒等式,由此再给出一类关于组合数的恒等式。本文的方法为研究组合数学提供又一途径。

一代数不等式的再探讨

本文指出对于 q(λ,a.b)=((a~λ+b~λ)/2)^(1/λ)-1/e (b^b/a^a)^(1/(b-a))当λ≥ln2 时,q(λ,a,b)>0;当0<λ≤2/3时,q(λ,a,b)<0。

三角形—不等式的对偶结果

文[1]给出定理:设D、E、F分别为△ABC边AB、BC、CA的内点,△DEF为正三角形,△ADF、△BDE、△CEF及△DEF的外接圆的半径分别为R1、R2、R3、R0,

广义奇偶函数的Fourier系数

本文推广了在[-π,π]上按段连续的奇(偶)函数的Fourier系数不含余(正)弦项的结论,因此本文的结果适用范围更广且运用更方便。

奇完全数的几个命题

本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i^(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a^(2^n)+b^(2^n)"(a>b>0,a,b,n∈N^+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a^(2^n)+b^(2^m)不是完全数.

整系数多项式有理根一个新求法的再探讨

设f (x)为整系数多项式,α为有理数,对n个不同的整数t1,…,tn,gα(tk) =f (tk)tk-α都是整数,那么α是f (x)的根的充要条件是f (t) =∑ni=1∏1≤j≤nj≠it-tjti-tjgα(ti) ( t∈Z) .

正多边形的最优分割问题

记平面边长为1的正m边形为S_m,将S_m剖分成n块:S_(m1),S_(m2),…,S_(mn),这样的剖分称S_m的n剖分,并以T(m,n)表示.以d_(mi)表示区域S_(mi)(i=1,2,…,n)的直径(即区域S_(mi)任意两点之间距离的最大者).记D(m,n)=max{d_(m1),d_(m2),…,d_(mn)}及Ψ(m,n)=■{D(m,n)}.本文将估计Ψ(m,n)的上下界.证明Ψ(6,3)=3/2,Ψ(6,4)=3-3^(1/2),Ψ(6.6)=1,Ψ(6,7)=3/2,估计Ψ(6,n)的渐进性.提出几个猜想.