一个命题的推广及其应用

有这样一个命题:正三角形内任一条长为a的线段PQ,在三边上的射影为m、n、l,则:m2+n2+l2=1/2·3a2;很容易验证对正方形内任一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为m、n、l、r,则m2十n2十l2+r2=2a2（即1/2·4a2）也是正确的。（如下图）有了以上两例作基础,我们将其推广到一般情况,并证明其正确性:正n边形内任意一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为a1、a2、…、an,则 a12+a22+…+anz=1/2·na2 引理:正n边形内任意一条长为a的线段PQ平移到任何位置不改变它在各边上射影的长。

贝努利不等式的变形应用

贝努利不等式的变形应用朱结根（安徽省太湖县新仓高中２４６４３０）高中代数（必修本）下册１２３页上的例题：已知ｘ＞－１，且ｘ≠０，ｎ∈Ｎ，且ｎ≥２．求证：（１＋ｘ）ｎ＞１＋ｎｘ．这是著名的贝努利不等式，由于ｘ＝－１时不等式仍成立，故令ｔ＝１＋ｘ，则例题...

平面n点集的平衡点

胡炳生教授在其专著中运用纯平面几何方法建立了:命题1 过△ABC重心任作直线XY,若把XY不同侧的顶点到XY距离的值取相反符号,则△ABC各顶点至XY距离的代数和为0.命题2 任意四边形ABCD内部存在一点(两组对边中点连线的交点),过它任作直线XY,如果不同侧顶点到XY的距离取相反符号,那么所有顶点到XY距离的代数和为0.本文运用解析几何方法将上述结论推广到平面任意n点集,为此先介绍:

一个著名定理的推广及应用

公元七世纪,印度数学家布拉·马葛朴塔(Bfahmagupta)提出了:命题:圆内接四边形的对角线互相垂直,过对角线的交点而垂直于另一边的直线必平分对边。现将命题作如下推广:

有奖解题擂台(26)

在锐角△ABC中,设m=cosA·cosB·cosC。

巧证两道IMO试题

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙Oi（i=1,2,3）的方程为:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l1:（D-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0, l2:（D2-D3）x+（E2-E3）y+F2-F3=0, l3:（D3-D1）x+（E3-E1）y+F3-F1=0. 由于圆心不共线,故设l1与l2的交点P的坐标为（x0,y0）,易验证:P∈l3,即l1,l2,l3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 （1MO36-1）设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.

正2n+1边形中的一个新等式

有这样一道习题:过外接圆半径为1的正三角形的中心O任作一直线,在形内被O分成长为p、q的两段(如图,求证:1/p^2-1/pq+1/q^2=3 (1). 本文先探索命题在正五边形中的推论,然后推广到正2n+1边形,为此先介绍:

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′+S_△BCA′+S_△CAB′。

巧用厄尔密特恒等式解题一例

设m】1为整数,x是实数。

正三角形中的一个不等式

定理 设D、E、F分别是正要△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0,m1,m2,m3。则: 1/m1+1/m2+1/m3≥3/m0 证明 在△AEF中,∠A=60°.由余弦定理有: EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cosA=AE2+AF2-AE·

利用复数巧证一几何题

题 设I是△ABC的内心,角A、B、C的对边为a,b,c,求证:IA^2/bc+IB^2/ac+IC^2/ab=1。 这是《数学通报》94年第7期898号问题,原解答是纯平几证法。

数学奥林匹克问题

初93.如图,已知四边形ABCD,把各边四等分,连结对边相应的点交成四边形EFGH。证明: S_(四边形EFGH)=1/4S_(四边形ABCD)。 (单笔 天津师范大学数学系,300074) 初94.有甲、乙两名军官及2000名士兵,为执行任务,每名军官要从这2000名士兵中挑选若干名士兵组成一支部队,两名军官必须轮流挑选。

新兵接种乙型肝炎疫苗快速免疫程序和两针免疫程序的效果比较

目的 :研究新兵采用快速免疫程序或两针免疫程序的免疫效果 ,为丰富军人乙肝免疫策略提供依据 .方法 :1 5 0名符合要求的新兵随机分为A ,B ,C三组 ,分别按标准免疫成序、快速免疫程序、两针免疫程序接种乙肝疫苗 ,每次均为 1 0μg.结果 :首针免疫后 1mo时B组的血清抗 HBs阳转率 (6 4 .0 % )高于A组 (2 6 .0 % ,P <0 .0 1 )和C组 (2 8.0 % ,P <0 .0 1 ) ,首针免疫 7mo和 1 2mo时三组间抗 HBs阳性率无显著性差异(P >0 .0 5 ) ;同时 ,首针免疫后 1mo时 ,B组的抗 HBs几何平均滴度 (GMT)高于A组和C组 (P <0 .0 1 ) ,3mo时 ,B组的抗 HBs几何平均滴度仍高于A组和C组 (P <0 .0 1 ) ,7mo时A组的抗 HBs几何平均滴度高于B组和C组 (P <0 .0 1 ) .结论 :和标准免疫程序相比 ,快速免疫程序能较早地产生保护性抗体 ,两针免疫程序经济、有效 。

对称不等式的扰动变换

1.起源与命名1969年,S.G.Guba建立了如下不等式:[1]若a、b、c、s分别为三角形三边长工及半周长,则(a-b)/(s-b)+(b-c)/(s-c)+(c-a)/(s-a)≤0笔者发现它等价于:

平行线足三角形性质初探

受垂足三角形启示,本文提出新的内接三角形概念.定义:设 P 是△ABC 内点,过 P 分别作 BC、CA、AB的平行线,与 CA、AB、BC 分别交于 A′、B′、C′,则称 A′、B′、C′为平行线足.△A′B′C′为关于 P 点的平行线足三角形.