第59届IMO预选题(四)

数论部分1.求所有的正整数对(n,k),使得存在正整数s,满足sn、sk的正因数个数相等.2.已知正整数n> 1.在n×n方格表的每个格内有一个整数,且满足下述条件:(1)方格表中的每个数均模n余1;(2)每一行中的数之和、每一列中的数之和均模n^2余n.

第52届IMO预选题（二）

组合部分1．本届IMO第4题．2．设1000名学生围成一个圈．证明：存在正整数k（100≤k≤300），使得在此圈中存在相邻的2k名学生，满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同．

第60届IMO预选题(二)

几何部分1.已知圆Γ过ΔABC的顶点A,与边AB、AC的第二个交点分别为D、E,与边BC交于两点F、G,且点F在B、C之间.过点F、G分别与ΔBDF、ΔCEG的外接圆相切的直线交于点T.若点T与A不重合,证明:AT//BC.

2017—2018美国国家队选拔考试

1.对于素数p、正整数e,n=p^e能使得等号成立.用[a,b]表示集合{a,a+1,…,b}.则容易得到下面的引理.引理记φ为欧拉函数.若a、d均为正整数,则[a,a+d-1]中有φ(d)项与d互素.设d1,d2,…,dk为n的所有正因数.

第62届IMO预选题(四)

数论部分1.求所有的正整数n,使得存在正整数对(a,b),满足不存在一个素数的立方整除a^(2)+b+3,且ab+3b+8/a^(2)+b+3=n.2.本届IMO第1题.3.求满足下述性质的所有正整数n:存在n的所有正因数的一个排列(d,d,…d),使得对于每个i=1,2,…,k,均有d+d+…+d是一个完全平方数.

第59届IMO预选题(三)

几何部分1.本届IMO第1题.2.已知△ABC满足AB=AC,M为BC的中点,点P满足PB <PC,且PA//BC,X、Y分别为PB、PC的延长线上的点,且∠PXM=∠PYM.证明:A、P、X、Y四点共圆.3.已知Γ是半径为1的圆,称由三角形构成的集合T为"好的"当且仅当其满足下列条件:(1)每个T中的三角形均为圆Γ的内接三角形.

第58届IMO预选题(四)

数论部分1.本届IMO第1题.2.已知p为素数.甲、乙两人玩游戏,交替进行下面的操作:每人在集合{0,1,…,p-1}中先选一个下标i(i为这两个人之前没有选过的),然后,选择集合{0,1,…,9}中的元素a_i.甲先操作,所有的下标i∈{0,1,…,p-1}

第62届IMO预选题(二)

组合部分1.已知S是由无穷多个正整数构成的集合,使得存在四个两两不同的a、b、c、d∈S,满足(a,b)≠(c,d).证明:存在三个两两不同的x、y、z∈S,使得(x,y)=(y,z)≠(z,x).2.已知正整数n≥3.整数m≥n+1被称为“n色的”:如果给定无穷多块大理石,每块大理石被染为n种颜色C,C,….

2019美国国家队选拔考试

1.在ΔABC中,M、N分别为AB、AC的中点,点X满足AX与ΔABC的外接圆相切.过点M、B且与MX相切的圆为ΓB,过点N、C且与NX相切的圆为ΓC.证明:圆ΓB与ΓC的一个交点在直线BC上.

第62届IMO预选题(一)

代数部分1.已知n为正整数,A是集合{0,1,2,,5^(n)}的子集,且|A|=4n+2.证明:存在a、b、c∈ A,使得a<b<c,c+2a>3b.2.对于每个正整数n,考虑n×n的方格表,在第i(i∈{1,2,…,n})行,第j(j∈1,2,…,n)列的方格内填人数,[ij/n+1],其中,[x]表示不超过实数×的最大整数.求所有正整数n,使得这n^(2)个方格内的数之和等于1/4n^(2)(n-1).

第61届IMO预选题(二)

组合部分1.设n为正整数.求1,2,…,n的排列a_(1),a_(2),…,a_(n)的个数,使得a_(1)≤2a_(2)≤…≤na_(n).2.将一个正100边形的41个顶点染为黑色,其余59个顶点染为白色.证明:存在24个顶点为正100边形的顶点的凸四边形Q_(1),Q_(2),…,Q_(24),使得凸四边形Q_(1),Q_(2),…,Q_(24)两两不交,且每个凸四边形Q_(i)(i=1,2,…,24)均有三个顶点同色、第四个顶点为另一种颜色.

2020美国国家队选拔考试

1.选取正整数b_(1),b_(2),…满足1=^b_(1)/1^(2)>b_(2)/2^(2)>b_(3)/3^(2)/b_(4)/4^(2)>….对于所有的正整数n,记r是满足b_(n)/n^(2)≥r的最大实数。对于所有可能选取的数列{b_(n)},求r的所有可能的值。

第59届IMO预选题(二)

组合部分1.已知正整数n≥3.证明:存在一个由2n个正整数构成的集合S满足下述性质:对于每个m=2,3,…,n,集合S能拆分为两个元素之和相等的子集,且其中的一个子集中的元素个数为m.2.本届IMO第4题.3.已知n为给定的正整数,西西弗斯对于排成一排且从左到右标号为0,1,…。