科研视角中数论教学的架构与思考

数论是大学数学专业课程中重要的组成部分。本文阐述了以科研视角和观点进行大学数论课程教学内容的改革方式,详细总结了以此视角对数论教学内容拓展的外延与内涵,进一步指出了以科研视角对教学内容进行设计、准备、实施,对推进数论课程教学理念现代化、数论教学知识体系现代化,以及对数论科研方向梯队人才的培养与选拔有着广泛而深远的意义。

一维固定闭区间上首一最佳逼近多项式的解析

本文通过构造迭代多项式序列,证明了在区间[-1,1]上的"首一"最佳逼近多项式,给出了最佳逼近多项式的解析式,并且将这一结论进一步推广到一般的一维闭区间[a,b]上,并给出了相应的证明。

Fermat小定理的推广及其应用

利用映射的不动点以及不动点阶的思想将整数环Z上的Fermat小定理推广到一般集合S上,并运用该推广讨论了Dirichlet定理的一种特殊情形:只要给定正整数m≥3,那么算术数列1+lm(l=0,1,2,…)中一定存在无穷多个素数.

华林—哥德巴赫问题:1个立方与9个四次方

设N为充分大的整数.本文证明了对于不超过N且满足某些必要同余条件的正整数n除至多O(N^(17/18+ε))之外均可以表示为p13+p24+p34+p44+p54+p64+p74+p84+p94+p104的形式,其中p1,p2,…,p10为素数.

关于素变量的两个丢番图不等式(Ⅱ)

设1<c<26088036/12301745,c≠2并且N为充分大的实数.本文证明了对于几乎所有的R∈(N,2N],丢番图不等式|p_(1)^(c)+p_(2)^(c)+p_(3)^(c)-R|<log^(-1)N关于素变量p1,p2,p3是可解的.进一步,我们证明了如下丢番图不等式|p_(1)^(c)+p_(2)^(c)+p_(3)^(c)+p_(4)^(c)+p_(5)^(c)+p_(6)^(c)-N|<log^(-1)N关于素变量p1,p2,p3,p4,p5,p6是可解的,改进了之前的结果1<c<37/18,c≠2.

关于四元非齐次幂和的除数问题

设d(n)为Dirichlet除数函数,定义Sk(x)=∑1≤n2,n2,n3≤x^(1/2) 1≤n4≤x^(1/k)d(n2^(2)+n2^(2)+n3^(2)+n4^(k)),3≤k∈N.探讨了非齐次除数幂和Sk(x)的渐进性质,并建立了当k≥3时Sk(x)的渐近公式进一步深化了前人的结果.