“反之亦然”在初高中数学教学衔接中存在的问题与干预示例

在教学沪教版高一数学“集合与逻辑”章节的过程中,笔者发现不少学生无法正确理解原命题与逆命题之间的区别与联系.笔者在沪教版八年级数学教材中,发现了不少“反之亦然”的表达方式.教材对某些命题的逆命题给出了详细的证明,而其余大多数却并未给出详细的证明,这对逻辑能力比较弱的学生而言便是一种理解障碍.故笔者针对初中的一些教学情境,进行教学干预的片段设计,试图促进初高中数学教学的更好衔接.

“点到直线的距离”:基于认知基础,选择历史方法

＂点到直线的距离＂的教学应该更好地建立在学生的认知基础上,并为学生创造探究的机会。在考察数学史上点到直线距离公式的8种推导方法的基础上,选择其中的交点法、最值法、三角形面积法以及向量法,并且对最值法和三角形面积法进行必要的改进,同时在教学中与学生自主探究得到的方法进行比较。从学生的课堂表现和课后反馈来看,诸方法的选择是恰当的,本节课揭示了点到直线距离公式背后的方法之美,并为学生创造了探究的机会,有助于学生体会数学思维的多元性,提升数学学习的自信心。

国外不等式教与学研究综述

众所周知，不等式在分析、代数、三角、线性规划等众多数学领域中有着广泛的应用，在中学数学课程中占有重要地位，先后涉及一次、二次、绝对值、分式、根式不等式以及与幂函数、指数函数、对数函数和三角函数相关的不等式等．研究学生解不等式的思维方式、困难和障碍，可以为改善教学提供借鉴．

从数学史视角探究“曲线与方程”教学难点的成因及克服策略

“曲线与方程”概念教学是高中数学教学的一大难点．笔者从数学史视角进行探究，发现“曲线与方程”概念教学难点的形成既有历史因由，也与当下教科书的编写有一定的关系．一线教师可参考西方早期教科书对于“曲线与方程”“直线方程”章节的引入顺序，以前人遇到的瓶颈为突破口，努力设计HPM视角下的“曲线与方程”教学案例，帮助学生克服西方早期教科书编写者所经历的重重困难，让学生圆满掌握“曲线与方程”概念．

HPM视角下的“平面直角坐标系”教学

平面直角坐标系是沪教版初中数学教材七年级下最后一章．平面直角坐标系的建立实现了由一维向二维空间的转变，是几何与代数沟通的桥梁．几何图形直观易懂，却不便于计算；而代数方法容易操作，却很抽象．通过建立平面直角坐标系能完美地将两者结合起来，化繁为简．因此，平面直角坐标系的教学就变得尤为重要．

“倾斜角与斜率”:重构数学史,体会合理性

对于＂直线的倾斜角与斜率＂,沪教版高中数学教材首先给出直线倾斜角的概念,然后直接将倾斜角的正切定义为斜率,因而在内容理解和知识衔接上显得不够深入、自然。在教学中,重构斜率概念的历史,从现实的滑雪情境出发,回顾已知的一次函数、直线方程知识,让学生经历斜率概念的自然产生过程;还通过几何表征沟通符号表征和三角表征,加深学生对斜率概念的理解;又通过历史再现进一步激发学生的兴趣和动机。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。

“1.2(3)反证法”的课堂实录和教学分析

—、教材分析在新出版的沪教版《数学》(必修1)中,第1章主题为“集合与逻辑”,主要内容分为“1.1集合初步”,“1.2常用逻辑用语”.其中,“1.2(3)反证法”是第7节课的内容,该节内容所需课时数为1课时.本课时的教学内容是反证法.是一种学生没有系统学习过的数学论证方法.学生也许在日常生活中、简单的数学命题证明中会使用“正难则反”这种问题解决策略,但对于反证法的基本步骤、其背后的逻辑道理以及其规范的书写方式都不太熟悉.

“直线和圆的方程”单元教学规划——从综合法到坐标法发展数学运算素养

为提高上海普通高中新课程新教材实施水平,发挥国家级示范区的示范引领作用,上海市杨浦区高中数学学科组在教育部基础教育课程教材发展中心(以下简称“中心”)、上海市教委教研室的指导下,参与了由中心组织的“普通高中新课程新教材学科教学研究课观摩活动”,活动期间有优秀学科教师团队的单元设计交流和研究课的展示,本刊对此活动进行介绍,并特邀上海市教委教研室方耀华教研员对此进行撰文点评.

将数学史与数学本体知识巧妙融合——“对数概念及其运算”教案生成过程

现行教材对“对数的概念”的引入过于直接,一般教学方式对“对数的运算”的处理也接近于强加式,它们均不利于培养学生的数学素养及学习兴趣.为此,笔者将对数的概念与对数的运算整合在一节40分钟的教学课中,在“数学史与数学本体知识巧妙融合”的理念指导下生成教案,努力让学生了解对数概念的起源与发展,并给予学生探索对数运算性质的机会.

传播师者文化 书写教育人生——记杨浦区数学特级教师余应龙先生

2015年秋,听说学校外聘了一位退休专家余应龙先生到数学组指导,会是怎样的先生呢?当笔者在教研组活动教室准备时,组内教师正要擦黑板,一头白发的余老师却“劫走”了抹布,非常利索地把黑板擦干净了,正感叹老先生鹤发敏行时,余老师又从一个白色布袋里拿出一沓整齐的讲义,讲义是用一个大小正好的塑料袋装着的,不禁再次感叹余老师的一丝不苟,同时又觉得这样的习惯似曾相识,许敏老师也是如此(后来笔者验证了当时的猜想,许老师曾经是余老师的学生).接下来余老师讲解了高考题,对高考题的分析严谨又不失生动,这样一位满头白发却身体健朗、思维敏捷的数学教师,怎能不引起后辈的好奇和敬意?

20世纪中叶以前西方解析几何教科书中的斜率概念

在斜率概念的教学中，有一个问题常常困扰着数学教师：为什么要用倾斜角的正切而不用倾斜角的正弦或余弦来定义斜率？为了寻找上述问题的答案，我们对20世纪中叶以前的53种西方解析几何教科书进行深入考察，

解析几何的三个历史阶段

德国科学史家冈特（S.Gunther,1848~1923）曾将解析几何的历史分成三个阶段：第一阶段是两条坐标轴的引入,第二阶段是基于横、纵坐标的曲线作图,第三阶段是关于横、纵坐标的方程的建立。阿波罗尼斯的工作已经达到了第一阶段,在讨论圆锥曲线的某些性质时,阿波罗尼斯往往选择圆锥曲线的直径作为一条参照线。