非自治Navier-Stokes方程的指数拉回吸引子

近年来,非自治偏微分方程及其产生的过程引起了许多学者的关注.数学物理演化方程所产生的耗散动力系统的长时间动力行为可以用所谓的指数吸引子描述.在非自治情况下,有不同的方法寻找自治情况下的指数吸引子的对应物.拉回指数吸引子是作为描述非自治动力系统长期行为的一个适当的概念,它是具有有限分形维数的半不变的最小紧集族,拉回吸引相空间中的任意有界子集.证明了在有界域上的二维非自治Navier-Stokes方程在(H^(1)_(0)(Ω))^(2)中的拉回指数吸引子的存在性.

在无界区域上随机强衰减波动方程的整体吸引子

研究了定义在无界区域上的具有非线性弱衰减项和可加噪声的强衰减波动方程的渐近动力行为.证明了与方程相关联的随机动力系统的整体吸引子的存在性.为此,首先证明了弱解及有界吸收集的存在性,然后利用适当的截断函数分解解的方法证明了渐近紧性.主要难点是由于区域的无界性,一些紧性结果不再有效.为克服此难点采用了方程解的分解方法.

具有分数阶阻尼的波动方程的吸引子的正则性

研究了具有分数阶衰减项的半线性波动方程解的渐近正则性.当非线性项满足临界增长率时,韩英豪等人证明了上述方程相关联的半群在相空间H_0中具有整体吸引子A.对外力项f和非线性项ф附加一些条件下可以证明上述半群在相空间H_1中具有整体吸引子A_1.显然,A_1■A.如果可以证明A是H_1的有界集,那么由整体吸引子的极大性,反过来的包含关系就成立.但一般情况下,仅仅假设f∈H-1(Ω),不能证明A在H_1中的有界性.对f和ф施加适当的假设条件下证明了A在H_1中的有界性.

随机半线性强衰减波动方程在局部一致空间上的吸引子

在无界区域R^n中考虑了具有可加噪声的随机强衰减半线性波动方程的Cauchy问题,在相空间X=W_(lu)^(2,p)(R^n)×L_(lu)~p(R^n)中证明了该方程的整体可解性和随机吸引子的存在性.为解决该方程相关联的半群S(t,ω)的弱渐近紧性问题,首先证明了集合B_1∶=S(1,ω)γ^+(B_0)在空间D(L)=W_(lu)^(2,p)(R^n)×W_(lu)^(2,p)(R^n)中的有界性,其中B_0是半群S(t,ω)在相空间X中的吸收集;然后利用紧嵌入定理W_(lu)^(2,p)(R^n)×W_(lu)^(2,p)(R^n)■W_ρ^(1,p)(R^n)×W_ρ^(1,p)(R^n)得到了集合B_1在相空间X中的弱渐近紧性.

我心目中的春天

雪莱说：“如果冬天来了，春天还会远吗？”我掰着手指头算着：“不远了，就是这几天的事了。”