节点梯度光滑有限元配点法

配点法构造简单、计算高效,但需要用到数值离散形函数的高阶梯度,而传统有限元形函数的梯度在单元边界处通常仅具有C0连续性,因此无法直接用于配点法分析.本文通过引入有限元形函数的光滑梯度,提出了节点梯度光滑有限元配点法.首先基于广义梯度光滑方法,定义了有限元形函数在节点处的一阶光滑梯度值,然后以有限元形函数为核函数构造了有限元形函数的一阶光滑梯度,进而对一阶光滑梯度直接求导并用一阶光滑梯度替换有限元形函数的标准梯度,即完成了有限元形函数二阶光滑梯度的构造.文中以线性有限元形函数为基础的理论分析表明,其光滑梯度不仅满足传统线性有限元形函数梯度对应的一阶一致性条件,而且在均布网格假定下满足更高一阶的二阶一致性条件.因此与传统线性有限元法相比,基于线性形函数的节点梯度光滑有限元法的L2和H1误差均具有二次精度,即其H1误差收敛阶次比传统有限元法高一阶,呈现超收敛特性.文中通过典型算例验证了节点梯度光滑有限元配点法的精度和收敛性,特别是其H1或能量误差的精度和收敛率都明显高于传统有限元法.

基于卷积神经网络的无网格形函数影响域优化研究

在无网格法中,离散节点之间的相互联系由节点形函数影响域的大小确定,因此形函数影响域的大小对无网格法的计算精度有着直接和重要的影响.但由于无网格形函数的形式较为复杂,目前形函数影响域大小的选择仍然缺乏系统的理论依据,通常在实际计算中仍凭借经验进行选取,难以保证计算精度.卷积神经网络是一类机器学习方法,其感受野与无网格形函数的影响域具有内在相似性,因此在形函数影响域选择方面有很好的适用性.基于该特性,论文通过引入卷积神经网络对无网格形函数的影响域进行了优化选择.首先,针对感受野和影响域的匹配关系,分析了卷积神经网络的结构设计和超参数选择,提出了一种无网格法内禀卷积神经网络结构的设计方法;然后依托该网络结构设计方法,建立了对无网格形函数影响域和数值解分别优化或同时优化的卷积神经网络.文中通过算例系统验证了所提无网格法内禀卷积神经网络对形函数影响域选择和计算结果的优化效应.