罗素悖论与康托在集合论中的两个失误

分析了罗素悖论与康托的实数集合不可数证明及康托定理S <P(S)证明之间的本质性联系 ,发现康托在这两个非构造性证明中所依赖的、用对角线法所构造出的矛盾其实就是罗素悖论中所揭示的逻辑矛盾 .得到明确的结论 :康托在这两个证明中的思路与做法是错误的 。

错用罗素悖论——康托在集合论中的两个逻辑性错误

分析了罗素悖论与康托的实数集合不可数证明及康托定理■<■证明之间的本质性联系,发现康托的这两个非构造性证明与罗素悖论有完全相同的思路,但是康托犯了两个逻辑性错误而使他误用了这个悖论思路。得到明确的结论:康托在集合论中如上两个证明里的核心部分实际上是罗素悖论的翻版,这两个证明中的思路与做法是错误的,这样的证明结果没有科学性。

相等性原理与《易经》

人们如果深入研究人类认知活动中的“分类”与“类比”现象的本质,就会发现人类在“分类—类比—抽象”认知活动中所依赖的“相等性原理”与“不等性原理”。它对在深层结构中揭示《易经》“易道广大,无所不包”的本质具有一定的意义。

数学中实无穷与潜无穷的几个问题

传统无穷理论体系分化成数学、哲学中的潜无穷与实无穷两种学说，它们共存、却又争论不休；既不相容又无法否定对方．本文讨论这两种学说中的几个问题．

新构建的基础理论学的意义、方法和任务

在已有工作的基础上,从意义、方法和任务三方面进一步介绍新构建的基础理论学.

数学分析中悬而未决的问题

讨论了数学分析中未解决的新、旧问题，分析存在于几代数学分析基础理论中的缺陷，提出了解决问题的一条思路．

一条金辫:类比——相等性原理——基础理论学

深入探讨人类认知活动中的"分类"与"类比"现象的本质,将"类比"概念进一步理论化与科学 化.发现人类在认知活动中所依赖的"相等性原理"与"不等性原理".构建科学大厦中的新学科"基础理论 学".

无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源

从新构建的基础理论学的角度,以全新的基础理论学的方法[1],讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念:潜无穷式的与实无穷式的无穷集合.指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,其直接的后果就是:一方面混淆了原来的“有穷”概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为·集合论基础理论中这个致命缺陷是导致第三次数学危机的最根本原因·得出明确的结论:迄今为止,所有与无穷小、无穷大相关的问题与悖论在现存的含有潜无穷与实无穷概念的无穷理论体系中是不可解的,只有对现有的“无穷”概念进行修正,构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系[2、3]才是构建健康的无穷集合论的唯一途径.

数学中三种新的数量形式

分析了传统无穷理论体系及与之相关的数学内容中的缺陷 ,提出数学中三种新的数量形式 ,并构造了一个与新无穷观相对应的新数谱 .

芝诺悖论和贝克莱悖论新解

在文献[1-10]所介绍工作的基础上,以全新的思路综合分析芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族所揭示的问题的本质,得到明确的结论:(1)芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族揭示了存在于经典无穷理论体系、经典数谱和经典极限论中人们一直没发现的一个逻辑矛盾及相关基础理论问题;(2)经典无穷理论体系、经典数谱和经典极限论中所存在的重大缺陷决定了这两大悖论家族从不同角度所揭示的所有难题在现有科学理论体系中是不可解的.本文给出了解决芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族的新途径.

数学基础—“忽悠逻辑”—现有极限论的三大缺陷

通过悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族以及康托在集合论中两个逻辑性错误所暴露的与现有无穷观、数量体系和极限论相关的问题,研究现有极限论中的缺陷与现有无穷观和数量体系中所存在缺陷之间的密切关系,分析了长期被忽视的现有经典极限论在体系性、定性操作和定量操作这三个最基本内容中所存在的问题,揭示了现有经典极限论中的三个主要缺陷.

数学的基础:存在——觉数能力——不确切数——数量体系

以"天人知识"认知理论体系(N+H=K)和相关的"知识-非知识"、"科学-非科学"划界标准为基础理论,以人类科学中的相关史料及新成果为基本素材,探讨数学基础理论中"存在"、"觉数能力"、"觉数行为"、"实无穷-潜无穷"、"确切数"与"不确切数"这几个重要概念及之间的必然联系,在一个新的数学哲学理论体系中进一步分析、研究、认识与"无穷"概念相关的"数"及其"数量体系"的本质,认识与"不确切数"相关且有别于传统"形式分类法"的几种新数量体系.

N+H=K认知理论体系、“知识—科学划界标准”与知识载体谱系

以人类的认知历史和所认知的内容为研究素材,从基础理论学的角度,进一步研究、完善N+H=K认知理论体系.分析、研究"知识"与"科学"这两个概念之间的联系与区别,构造了一个新的"知识载体谱系",即K_1,K_2,K_3,K_4.

芝诺悖论的又一现代翻版——调和级数悖论

通过发现芝诺悖论的又一个翻版——调和级数悖论,再一次证明,在传统的有穷-无穷理论体系中,人们永远不可能解决芝诺通过悖论要求人们解决的问题,并且永远无法制止新的芝诺悖论翻版的产生.

现代数学基础理论中的一个不可解危机

从新构建的基础理论学的角度,讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的"无穷集合"概念———潜无穷式的与实无穷式的无穷集合.指出现有数学中通常所使用的"无穷"概念极端的模糊不清,一方面混淆了原来的"有穷"概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与"无穷"相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为.数学基础理论中这个致命缺陷是导致第二次与第三次数学危机的最根本原因.因此,只有对传统的"无穷"概念进行修正,构建新的"有穷-无穷"理论体系及相关的数量体系才是彻底解决第二次与第三次数学危机的惟一途径.

第二次数学危机在现有科学理论体系中是不可解的

分析了现有极限论的本质和与解决第二次数学危机相关的“ε-δ”语言的本质,得到“标准数学分析理论根本就没有解决第二次数学危机的两个本质性问题,第二次数学危机根本就没有得到解决”的明确结论.

人类科学中经典无穷理论体系的终结

进一步介绍了新构建的无穷理论体系的特点,宣告经典无穷理论体系的终结.

文化:“天人合一天人知识”学说——数学哲学

从现代科学的角度研究、挖掘国学精萃"天人合一"学说的内涵,运用"类比—相等性原理"导出"天人知识"学说(N+H=K),提出与N+H=K公式密切相关的"知识—非知识"和"科学—非科学"的新划界标准。从本体论角度、以具体的新事例证明"天人合一天人知识"认知理论体系与现代数学基础理论之间必然的密切关系。得出"天人合一天人知识"学说是人类所有知识与科学的基础理论之一,是数学的基础理论之一。

论“极限论”

对哲学、数学中与无穷相关的存在问题进行开拓性系统研究,提出了"数性"、"本体数"、"形式数"、"应用无穷"等新概念.在"系统性"、"数性"、"数量形式"、"数、数值认知行为"和"科学性"的层面上,将千百年来悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论所揭示的问题联系起来作为一个"疑难怪症"进行研究,分析、研究极限论这种"处理无穷数学事物的技术与理论"是什么及其功能.结果表明,我们必须从错误的"实无穷-潜无穷"阴霾中走出,正确认识与科学的新"无穷观"、新数量理论相关的极限论的"本体-形式"论性质,修缮、重构现有的经典极限论及其相关的数学分析、集合论、实数理论(比如重新认识"戴德金-康托公理"和"连续统假设")等重要数学内容的基础理论,进一步开拓"数-数值理论"的研究.

数学基础理论中的千古悬案——科学哲学——芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

结合新发现的经典无穷观和与之相关的经典数量体系中所存在的缺陷,从基础理论学的新思路,分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于数学基础理论中与"有穷-无穷"概念相关内容的缺陷,并认为,自古以来由于受"重形式-轻本体"这种错误思路的影响,数学与科学哲学基础理论中与"有穷-无穷"概念相关的那部分内容非常薄弱,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,使人们无法真正认清这三大悖论的本质,从而决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决.