密度造型方法的初步探索

传统的自由曲线造型系统,可描述为“(离散的)控制顶点序列,关于(离散的)基函数序列,进行(离散的)加权平均”。现打破其离散属性,改变为连续属性,即将描述改为“(连续的)曲线,关于(连续的)函数族,进行(连续的)积分平均”。相应的变化,类似于概率论中,离散型随机变量使用分布律定义的数学期望,变为连续型随机变量使用概率密度函数定义的数学期望,因此,这种连续属性的造型方法称为密度造型方法。其中,连续的曲线,称为控制曲线;连续的函数族,称为基密度函数。为了初步探索密度造型方法,定义了其模型,并尝试构造了一种满足非负、规范、对称性质的1次与2次的基密度函数,进一步研究了基密度的导数,以及对应随机变量的任意阶矩函数的情况。在密度造型的过程中,输入可以是任意次数的多项式甚至非多项式的参数曲线,输出的造型曲线是次数分别不超过1和2的多项式曲线。密度造型的曲线具备凸包、仿射不变和对称等性质。

Ball基的推广

构造了一系列次数为n且带有参数k(2≤k≤■n2■+1)的新的广义Ball基,作为Wang-Ball基(k=2)到Said-Ball基(k=■n2■+1)的过渡,并给出新基的一些性质.接着,由新基定义出新的广义Ball曲线,给出曲线的递归求值、升阶和降阶逼近算法.最后,提出相应的三角基,并给出三角曲面的递归求值和升阶算法.

5阶三角多项式空间中的拟Bézier基在三角域上的推广

为了进一步研究非多项式空间的拟B啨zier基,完善其关于三角域部分的理论,将5阶三角多项式空间G=span{1,sint,cost,sin2t,cos2t}上的基推广到三角域上,构造出满足正性、权性、对称性、边界性质和线性无关性的拟B啨zier基,使得相应的三角曲面不用有理形式就可以表示球面片.实例结果表明,使用这组基可以精确地造型出整球面.

线性p-Bézier曲线的几何形状

为了丰富非多项式空间的拟Bézier系统的几何性质,针对线性三角多项式空间的p-Bézier曲线进行研究.首先通过几何变换与参数变换将椭圆的参数方程化为p-Bézier形式;然后通过对比,指出除去退化情况外线性p-Bézier曲线必为椭圆弧;再给出该椭圆的中心,焦点,长、短轴顶点这些几何元素与其控制顶点间的关系式;最后给出了线性p-Bézier曲线为圆弧的充要条件.实例结果表明,文中的几何元素可以通过控制顶点的线性插值得到.

一类新的广义Ball基及其相应曲线

为进一步完善广义Ball基理论,增强广义Ball曲线的造型能力,研究了一类新的广义Ball基及其相应曲线.通过加入多个带约束条件的参数,由初始函数在满足正性、规范性、对称性、端点性质和线性无关性的基础上进行递归的方法构造出基函数,并通过一般的控制顶点加权基函数的方法定义了相应广义Ball曲线.曲线具有凸包性、端点性质、几何不变性与仿射不变性、升阶公式,以及C0、C1和C2拼接条件和递归求值算法.这类基统一表示了以往所有的二项展开型广义Ball基和Bernstein基,并添加了多组新基,为广义Ball曲线提供了更丰富的造型.

线性双曲拟Bézier曲线的几何图形

为进一步研究线性双曲拟Bézier曲线的几何性质,从标准的双曲线方程出发,使用几何变换与参数变换,将其化为线性双曲拟Bézier曲线的形式;经过与任意线性双曲拟Bézier曲线相比较,得到方程组以求解,从而得出非退化的线性双曲拟Bézier曲线必为双曲线的结论,并给出该双曲线的中心、实、虚轴顶点和焦点这些几何元素关于控制顶点的显式表达;通过理论和实例表明,提出的双曲线的几何元素均可由线性双曲拟Bézier曲线控制顶点的双线性插值得到。

有理二次Bézier形式共轭双曲线段的几何计算

考虑有理二次Bézier形式的相互共轭的双曲线的控制顶点之间的关系,给定表示一段双曲线的标准型有理二次Bézier曲线,目标是求出它的共轭双曲线上相应段的控制顶点。首先给出共轭双曲线段的自然定义;接着通过参数变换,将有理二次Bézier形式和一般参数形式进行转换,并把这种转换对应到矩阵,以给出所求控制顶点的显式表达;最后,给出表达式的几何意义,即共轭双曲线段的控制顶点可由原双曲线的控制顶点通过两次线性插值得到。

一种低次的变次数样条曲线的细分算法

提出一种变次数样条曲线的细分算法,在细分前可指定每段的次数和异次段间的连续性,其中,每段的次数可在[1,4]上任选,异次段间的连续性可在C~0和C~1中任选,同次段间的连续阶为次数减1。算法使用变次数样条的插节点性质,在所有非零节点区间中,整体插入中点,精确地给出细分前后基函数的关系,同时,利用细分生成的变次数样条的节点区间与次数成比例的方法,使得细分过程中,异次段间的插值系数较为简单。细分过程可表示为线性插值的形式,但不同于非对称的每段分别进行的局部插值方法,而是具有类似均匀B样条的Lane-Riesenfeld细分的整体插值方式,因此,包含次数≤4时的Lane-Riesenfeld细分方法。

有理二次Bézier曲线的极限性质

为深入挖掘有理二次Bézier曲线在?0,1?外的拓展性质,针对其标准型,研究参数趋向于?时的极限.首先计算出极限点的位置;然后分别在椭圆和双曲线的情况下,通过比较极限点与已知点的位置、计算有理形式分母的零点、考察极限点处的切向,来探讨极限点的性质;进而得出极限点与中心、肩点共线,以及切线方向与首末控制顶点连线方向平行等结论.实例结果表明,极限点可以作为拓展部分曲线的控制顶点,从而用于整个椭圆的表示.

Bézier曲线到AH-Bézier曲线的升阶算法

关于曲线升阶,已有的结论往往限于同类曲线之间。为了突破这一限制,考虑不同类曲线间的升阶,关注代数多项式空间中的Bézier曲线到代数双曲多项式空间中的AH-Bézier曲线的升阶。研究从基函数入手,利用Bézier和AH-Bézier共有的求导降阶的特点,结合矩阵分块的思想,先给出AH-Bézier基到Bernstein基的转换矩阵,进而推出控制顶点的升阶公式,最后给出升阶算法。结果表明,任意n次Bézier曲线可以通过该算法升到n+3阶(等同于n+2次)的AH-Bézier曲线。算法实现了Bézier到AH-Bézier曲线模型的精确转换。

Bézier曲线的多项式重新参数化检测

研究了一种用于精确检测一条Bézier曲线的次数是否可以通过多项式重新参数化降低的算法。该算法对任意一条Bézier曲线,将重新参数化前后的基函数的关系用方程组的形式表达,但不需要解方程,而是通过系数表示的金字塔算法直接计算,可以精确求出用于重新参数化的多项式和降低次数后的Bézier曲线的控制顶点,并且该重新参数化的多项式在相差一个线性变换的前提下是唯一的。通过实例应用,该算法运算速度较之前的算法快。

浅谈大学数学基础课的三个易错知识点

该文浅谈了大学数学基础课的三个易错知识点——"特征向量不为零""二重积分换元要乘以雅克比行列式"和"多个概率公式的记忆"。它们易出错的现象表明,学生对其本质理解不深刻。对特征向量,从其定义、性质和应用三个方面,阐述了它表示方向的本质,因此不能为零;对乘以雅克比行列式,从例子入手,结合生活中的实际应用,阐述其统一规范的本质;对概率公式,从直观表示的文氏图入手,结合不同的公式以及例题,阐述了概率的度量本质。对这些本质的探讨,与客观的数学概念、定理、公式中的主观因素紧密联系,为加深学生对这些知识点的理解、降低他们的错误率提供帮助。

浅析课堂教学中研究生科研创新能力的培养

科研创新能力是评价研究生质量的重要依据,而课堂教学是研究生获取知识的重要途径,因此,如何在课堂教学过程中更好地培养研究生的科研创新能力是一个重要的研究课题。通过与传统的课堂教学相比较,提出调整教学内容的顺序和变换教学角色两种改进方法。并且以数学类研究生课程"随机过程"为例,结合心理学的知识,简单分析了这两种方法对于增强研究生的科研创新意识,提升他们的科研创新能力所起的作用。

一种动态调整惯性权重的简化均值粒子群优化算法

提出了一种动态调整惯性权重的简化均值粒子群优化算法(DSMPSO).该算法在简化粒子群优化算法的基础上,利用个体最优位置和全局最优位置的线性组合取代算法个体最优位置和全局最优位置,以加快算法的收敛速度以及寻优精度;此外,构造了一种基于余弦函数的惯性权重,并加入服从贝塔分布的随机调整策略,以实现对惯性权重的动态调整,从而更好地平衡算法的全局和局部搜索能力,并增加种群的多样性.仿真实验结果表明,与其他一些改进算法相比,本文的新算法具有更快的收敛速度和更高的寻优精度.

基于信息熵加权的协同聚类改进算法

为了改进协同聚类中计算量较大的问题,提出一种信息熵加权的模糊协同聚类算法。首先引入信息熵来衡量隶属度差异矩阵中包含的不确定性信息,然后根据有效信息量定义相似性距离中的权重,最后通过权重对聚类的贡献实现子集之间的协同聚类。实验结果显示,新算法能充分利用数据子集中蕴涵的相关信息,以较高的计算效率实现更准确的协同聚类。与已有算法相比,新算法能自适应地计算协同关系强度,简化了参数设置和协同函数的复杂计算。

“信息科学基础”纵向关联与横向拓展教学研究

"信息科学基础"作为信息与计算科学专业开设的一门重要的专业基础课程,对于提高学生的信息科学基础知识具有重要的作用。针对在本专业开设该课程存在的主要问题,探讨该课程教学理念和教学方法中纵向关联与横向拓展的改革思路,切合实际提出一些新的教学方案,实践表明这些方法有效提高了信息论的教学效果。

基于新相似度的模糊协同聚类改进算法

提出一种优化传统协同聚类中模糊点类别归属的改进算法,该算法引入基于清晰半径的新相似性距离公式,用超球体中心区域代替传统算法中的类中心,在各子集初始聚类结果的基础上,对容易导致类别归属错误的模糊点重新计算隶属度,得到较为清晰的聚类结果。实验结果显示,改进算法能很大程度地减少边界上的模糊点个数及纠正分类错误,清晰半径的引入还能弱化各子集之间协同系数的差异,使得参数设置更为简单。

求解旅行商问题的改进局部搜索混沌离散粒子群优化算法

针对基本离散粒子群优化(DPSO)算法收敛速度慢、易于陷入局部最优等问题,提出了一种基于优秀系数的局部搜索混沌离散粒子群优化(ILCDPSO)算法并用于求解旅行商问题(TSP)。基于轮盘赌选择原理,给每段路径设定一个合理的优秀系数,以提高短边被选择的概率,从而有利于提高算法的寻优能力和收敛速度;为了进一步提高解的精确性,在算法机制中添加了局部搜索策略,通过调整每个城市在给定邻域内的城市路径,提高算法的局部搜索能力;另外,在算法的迭代公式中加入了混沌序列来提高粒子的随机性和多样性,增强了算法的全局搜索能力。最后用国际通用的TSP数据库(TSPLIB)中的若干经典实例对算法进行了测试,并与粒子群优化(PSO)算法、改进的PSO(IPSO)算法和混沌PSO(CPSO)算法等进行了比较。实验数据显示,在相同的实验条件下,与其他算法相比,ILCDPSO算法获得最优解的平均迭代次数较少且获得最优解的次数比例最高。研究结果表明,加入优秀系数后,ILCDPSO算法在收敛速度、全局寻优能力以及稳定性方面均优于其他算法。

求解MMTSP的模糊聚类单亲遗传算法

随着现代物流行业等应用领域的快速发展,多旅行商问题得到了越来越多的关注。针对多起点闭回路多旅行商问题(Multiple depots Multiple Traveling Salesman Problem,MMTSP),文中提出了一种模糊C均值聚类单亲遗传算法。该算法首先采用模糊C均值聚类方法将所有城市按照隶属度分成若干类,然后对应每个类建立一个旅行商问题,并通过一种改进的单亲遗传算法对旅行商问题进行求解,最后将各个类的结果综合作为MMTSP的解。所提算法采用先聚类再执行遗传操作的求解策略不仅可极大地缩减算法的搜索空间,而且可使种群在缩减后的搜索空间得到更充分的探索,从而更快地得到问题的最优解。对TSPLIB数据库中若干测试实例的求解实验结果表明,与其他几种相关算法相比,FCMPGA在不同规模问题上均具有良好的求解性能,尤其是在求解大规模问题时算法性能表现更优,且收敛速度更快。

自适应动态学习鸡群优化算法

针对标准鸡群优化算法存在求解精度偏低、局部搜索能力弱等问题,提出了一种自适应动态学习鸡群优化算法ADLCSO(Adaptive Dynamic Learning Chicken Swarm Optimization algorithm)。该算法利用反向觅食机制自适应更新每只公鸡的位置,并添加了非线性递减学习因子来动态调整公鸡位置的更新步长,以增强种群跳出局部极值的能力,从而提高算法的收敛速度和求解精度。此外,提出了一种基于个体间适应度值之差的种群相似度指标,并利用该指标对每只母鸡的位置进行自适应调整,以抑制种群多样性的衰减,从而进一步提高算法的求解精度。通过对12个经典测试函数进行仿真实验,结果表明ADLCSO算法在收敛速度、求解精度、稳定性及对高维问题的求解能力上均优于其他对比算法。