线性映射确定的线性空间的直和分解及其应用

令R为实数域,A为一个m×n矩阵,φA,φAT分别为A确定的由R^(n)到R^(m)和R^(m)到R^(n)的线性映射,则φA,φAT分别确定Rn和Rm的一个直和分解,且这样的直和分解是具体可实现的.将该结果应用于任一n维线性空间V,则可实现任一线性变换σ确定的V的一个直和分解V=W⊕U,使得U为σ-不变子空间,且可同时实现以下目标:将V的一个子空间W的基扩充为V的一个基;当V为欧氏空间时,将一个子空间W的正交基扩充为V的一个正交基,并给出W的正交补子空间.

柯西中值定理的两种新证法

设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.直接从拉格朗日中值定理出发,证明了至少存在一点ξ∈(a,b),使得(f(b)-f(a))g'(ξ)=(g(b)-g(a))f'(ξ).此外,从以P=(f(a),f(b)),Q=(g(a),g(b))为端点的两个向量是否平行的判别式(二阶行列式)出发,证明了同样的结论.

空间曲线的一种微分中值定理

证明了空间曲面上两条相交光滑曲线在相交区域内某(参数)点t=ξ处的切向量平行,从而推广了与平面上两条相交连续曲线有关的一个类似结果.