换元到最基本的代数方程中让本质暴露更完美——也谈一道三角题的隐形误解及正解探究

文[1]有这样一道例题：例1 已知sinacosβ=1/2，则cosasinβ的取值范围是（），A，[-1/2,1/2] B,[-3/2,1/2] C,[-1/2,3/2] D,[-1,1] 例1是选择题，最简单的解法是科学猜估，即由正、余弦函数的有界性，极易排除B，C，D而选A，文[1]，文[2]都是把例1按填空题或解答题处理的，文[1]剖析了文[2]给出的两个错解，并给出了3种正确解法，纵观文[2]的错解和文[1]对文[2]错解的剖析探究，以及文[1]的各种正确解法，都就三角函数论三角函数，且还用了均值不等式，故都不自然，也就不易被理解接受，结果还是云里雾里．

线性规划问题的纯代数解法

文[1]给出了线性规划问题的一个减少作平移图形的有效解法，本文进一步给出不作图形的纯代数解法．这个方法就是解二元一次不等式组，即把其中一个未知数视为已知常数解一元一次不等式组．

数学问题的根基本质是方程的解集

在教学中，认真读了文[1]P111阅读与思考《笛卡尔与解析几何》中的一段：他（笛卡尔）曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大但地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．

一个教科书结论的推广及其应用

文[1]P48三夹角与距离中证明了命题：如图1,设OA,OB,OC是三条不共面的射线（即三面角）,∠AOB=θ1,∠COB=θ2,∠AOC=θ3,二面角A-OB-C为直二面角（即平面AOB⊥平面BOC）,则有公式cosθ3=cosθ1·cosθ2①.

让新课程标准中的函数概念平淡走出来

文[1]（以下简称教科书）P16给出的函数概念是“设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（mnction），

例谈分离变量是基本通法

解方程（不等式）的实质就是对方程两端同时施以各种运算，即等价变形，分离出一个变量，即解出一个未知数，在多元方程（不等式）中解出一个未知数就得显函数，

由2010年高考四川理(12)看多元函数最值问题的解法

题目设a〉b〉c〉0,则2a^2＋1/ab＋1/a（a-b）-10ac＋25c^2的最小值是（）.（2010年高考四川卷理（12））（A）2（B）4（C）25^（1/2）（D）5本题是求多元代数式（函数）最值问题.在中学里求二元函数u=F（x,y）的最值,常用两种方法,一是把其中一个自变量（如y）视为常数（参数）,先求关于x的函数f（x）的最小值g（y）,再求g（y）的最小值.多元函数u=F（x,y,z）依次类推;二是化为一个自变量的函数u=f（t）,其中t=G（x,y）.第一种方法一般,故好想;第二种方法比较特殊,也比较难想.下面先解题目.

从09年四川高考理22题看不等式恒成立问题的解法

2009年全国高考四川卷，数学理22题是：设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数以，

从2009年四川高考理22看一类不等式的加强与证明

2009年全国高考四川卷，数学理22题是： 设数列{an}的前犯项和为Sn，对任意正整数n，都有an=5 Sn＋1，记bn=4＋an/1-an（n∈N^＊）

用多元函数最值问题解法探讨“巧用对称求最值”

文认为，利用对称求最值的方法并不完全可靠，有时候甚至会得到错误的结果，本文用文求多元函数值域（最值）的方法作些探讨．

一类流行方程实根问题的多解与推广

在众多的教辅资料中，流行着下面两个形异质同的问题．

用方程思想认识取值范围的实质与通解

文[1]提出了一道值得商榷的高考题,焦点集中在对方程（组）中表示实数的未知数（字母或含字母的代数式）取值范围的理解上,中学数学教学参考发起了对这个问题的讨论争鸣,并在该刊2013年第3、4期（上旬）发表了多篇争鸣文章（文[2]-[6]）,本文根据笛卡儿的方程理论用最基本的方程（函数）思想和最基本的换（消）元法对问题做实质性的探讨.为使问题叙述通俗易懂,以二元方程F（x,y）=0和不等式F（x,y）＞0说明后再推广.

用换元法解三角题

文[1]巧用配方法解三角题,因为"巧",所以一般不易想到,只有用心去研究才可能想到.本文用容易想到的通俗自然的方程思想、换元法解三角题.

不是通法失效,而是通法没教通

人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著的《普通高中课程标准实验教科书数学①必修》（以下简称教科书）P86有《函数与方程》一节内容.

对新教科书中一道习题的研究发掘

新课程下的教科书，给教师和学生都留有许多自主探究，发展创新的内容，值得研究和发掘的例、习题很多，本文给出全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）（以下简称教科书）第88页B组4（即下面的题目）的研究发掘，供参考．

两种二元不等式中求未知数取值范围方法探讨

二元不等式f(x,y)＞0(或f(x,y)≤0)中,求x,y的取值范围或已知x(或y)的范围求y(或x)的取值范围是一类比较普遍的问题(因为把y(或x)视为常数,f(x,y)＞0就是关于x(或y)的一元含参不等式,即含参一元不等式实质是二元不等式),也是一类容易混淆,不易掌握好的问题.这类问题中有两种情形最常见,一是f(x,y)＞0中知x(或y)的范围求y(或x)的范围,二是f(x,y)＞0对x(或y)∈区间D恒成立(即f(x,y)＞0的解集为{x| x∈D}(或{y| y∈D}))求y(或x)的范围.本文通过一些例子对这两种情形作些探讨,供读者参考.

从“待定系数裂项求和”到“直接待定系数求和”

对于现行各类全日制普通高中教科书中求等差（比）数列的前n项和sn的“倒序相加法”和“错位相减法”，文[1]，文[2]都提出了不同的意见，文[1]指出：在笔者看来“倒序相加法”并不是什么思想方法，它是为了避免对项数n进行奇偶讨论而引入的一个技巧；文[2]指出：“倒序相加法”和“错位相减法”有着相同的数学方法本质，即转化与化归的思想方法，这两种方法本身不过是一种数列求和的运算技术而已，不必推崇为方法，更不足称为数学思想了．那么，哪种求和的运算技术可推崇为方法，称为数学思想呢？

一道教科书习题的研究与推广

新课程下的教科书,给教师和学生都留有许多自主探究、发展创新的内容,值得研究和发掘的例、习题很多,本文给出全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）