科学技术中的无限

思考无限概念在科学技术中的应用,首先应谈到微积分的发明,微积分使人们应对无限小的时候能将一些想法精确化,没有微积分,当今科技的发展几乎不可想象。以下将解释微积分的一些基本概念,并讨论十七世纪数学家艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨之间关于谁发明了微积分的论战。同时将讨论微积分的早期分歧,其中涉及教会的参与。然后我将把注意力从无限小转向无限大。我将着眼于几个世纪以来对“空间和时间是无限的吗”“星星无限多吗”等问题的思考,它们最终构成了当代的正统学说,即空间是有限的,尽管它又是无界的,而时间可能也是有限的—许多宇宙学家通过诉诸宇宙膨胀理论,提出一切由宇宙大爆炸开始,可能由宇宙大坍缩结束。要说明的是,科学家们通常像古希腊人一样对无限保持警惕,每当计算中出现无限,他们就不得不重新思考是什么把他们引向了无限。

古代和中世纪思想中的无限

我以“希腊人厌恶无限”的古老谚语为引,说明其产生的原因与方式。其中,毕达哥拉斯及追随者应被特别关注,他们将世界分为两种宇宙本原—有限和无限。芝诺也将被考虑在内,他思考无限的概念并发现了运动的相关悖论,得出了运动不可能的结论。致力调和无限永远存在与希腊人厌恶无限的亚里士多德是本次的主要焦点,他以区分潜无限和实无限闻名,主张潜无限才是可接受的无限。这一观点在此后数千年中占主导地位,特别是对中世纪思想有显著影响。这很大程度上得益于圣托马斯·阿奎那居中调和亚里士多德学说与天主教教义。阿奎那的努力相当成功,教会一旦接受了该学说并将之作为新正统,哲学家们有异议便将陷入危险。此处特别提到的伽利略就是例证,伽利略敢于在讨论无限时加入自己发现的新悖论:这预示了后世对无限的思考(如第三讲中的讨论),并表明亚里士多德的观点不像看上去那样简单。

人类的有限

回顾无限思想史的早期近代时期,这一阶段始于勒内·笛卡尔的著作。作为一位典型的启蒙哲学家,笛卡尔试图运用我们对“有限”的经验建立对“无限”的理解。笛卡尔认为,我们关于无限的观念一定起源于某种自身“无限”的存在;事实上,这也是他对上帝存在的主要论证之一。但很多经验主义哲学家对此提出异议,他们希望从人们无法直接经验到无限这一事实推出我们并不曾对无限有过任何概念。伊曼努尔·康德在其中充当了典型的仲裁者角色。文章将从对历史的反思转向更一般性的关于我们自身有限性的思考,特别是以下问题:如果可以永生,我们是否愿意永生?对于自身有限性的思考把我们带到了何处?我们对无限究竟有怎样的理解?此处将论证对于我们自身有限性的理解是理解无限的基础。但这里还有一个必须思考的悖论:我们对自身有限性的理解使我们对于无限有所把握,但也使我们认识到自身并不能真正地理解无限。文章将概述一种应对这一悖论的方法。

数学中的无限

有关数学中无限的研究大部分发源于近代。首先,文章将概述德国杰出数学家格奥尔格·康托尔的思想。康托尔的研究具有深远的革命性意义,他不仅证明了无限的可比较性,还发明了用以测量无限的无穷数并展示了计算过程。然而,这一研究在康托尔的同时代人(19世纪末到20世纪初)当中引发了巨大的分歧,这也导致了康托尔精神的彻底崩溃。此外,这些研究还引发了一些新悖论,这也促成了很多数学基础性工作的崩溃,文章将阐述其中一些悖论,如罗素悖论,并讨论一些数学家,特别是戈特洛布·弗雷格的相关回应。弗雷格曾试图为数学提供一个严格可靠的基础,但罗素悖论似乎完全摧毁了他毕生的工作。文章还将进一步探讨这些悖论在数学上的后续发展,如哥德尔的研究。一个结论是,通过将无限置于正式的审视中,数学家最终为自己制造了更多难以解决的问题,他们还因此不得不考虑一些位于这门学科核心的深奥谜题。