拉格朗日乘数法的初等应用

概述拉格朗日的数学成就,诠释拉格朗日乘数法的两元简单形态和多元一般形态,从高考题、自主招生题、竞赛题中挑选例题详述拉格朗日乘数法在初等数学中的运用,其中指明把函数极值点确定为最值点的判定技巧,并补充一组思考题让读者进一步品味拉格朗日乘数法的实用价值。

柯西函数方程及其推论的应用

柯西（Cauchy,1789～1857）是法国数学家、力学家,发表八百多篇关于数学、力学、天文学方面的研究论文,法国在1882～1970年出版《柯西全集》达27卷,其高产程度位于古今世界科学家第二.本文选讲柯西函数方程及其推论,彰显数学史料在数学竞赛和自主招生中的现实价值.

一道最值题的繁术、通法、巧解

问题已知x〉0,y〉0,1/x＋1/2y=1,求x^2＋y^2的最小值.解法1：（判别式法）设x^2＋y^2=K,与条件等式1/x＋1/2y=1（其中x〉0,y〉0）联立,消去y后能够整理得到关于x的四元方程5x^4-8x^3＋（4-4K）x^2＋8Kx-4K=0.接着,再把此方程化归成5（x^2＋ax＋b）~2＋m（x^2＋ax＋b）＋c的形式,然后运用判别式法就可解答并检验.说明：解法1属于定式思维,其算理虽然没有错误,但计算量太大、过程相当繁冗。

“新题征展”题在2007年安徽高考文科卷中的再现

2007年安徽省高考数学文科试卷第18(Ⅱ)题是:设F是抛物线G:x^2=4y的焦点,A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足(?)·(?)=0,延长AF, BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值．

勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理的等价链

用余弦定理推导正弦定理,用正弦定理推导勾股定理,用勾股定理推导余弦定理,用正%%%弦定理推导射影定理,用射影定理推导余弦定理,于是只用五个推导环节就完成勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理的两两等价性证明,其逻辑思路令人耳目一新.

用两个案例佐证研读数学史的重要性

通过两个案例的阐述和分析，佐证教师结合教学实践研读数学史可以高屋建瓴地挖掘数学题根，有针对性地指导学生开展探究性学习，并为教师的专业发展开辟新路．

评议2018年浙江省高考数学试题的导向功能

2018年高考结束后,社会各界对于数学试卷进行了快评,即起点低、多层次;源于教材、淡中见隽;能力立意、素养凸显;遵照考纲、公平选拔.而从学生的角度,如何评析高考数学试卷呢？下面以2018年浙江省高考数学试题为例,从学习指导的功能来进行评析.

探究不动点相关题的解题背景

在近代高等数学中，两位数学家在不同分支探索着不动点问题：一位是自学成才的波兰数学家巴拿赫（S．Banach，1892—1945），他发现在某些限定条件下度量空间中自映射的不动点的存在性和唯一性；另一位是高扬数学直觉主义的荷兰数学家布劳威尔（L．E．J．Brouwe，1881～1966），他发现在拓扑变换中的不动点问题．在高中数学中，如何通俗易懂地探究不动点相关题的解题背景呢？

曲线（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=D的特征与活用

我们熟知，在直角坐标系xOy中，方程xy=m（常实数m≠0）表示双曲线.

巴塔尼的球面余弦定理及其变通运用

巴塔尼（Al-bategnius,858~929）是阿拉伯的天文学家和数学家,曾经担任过阿拉伯大帝国东方文化中心巴格达的天文台台长,在翻译、评注希腊亚历山大时期天文学家、数学家、地理学家托勒密（Ptolemy,约90~168）的著作《天文学大成》时,不仅引进余切函数并用它来度量太阳的仰角,而且还发现下述球面三角形的一个新结论.

用几何画板作圆锥曲线切线的研训导引

因为大家熟知运用几何画板作圆的切线,也易知根据光学性质运用几何画板作抛物线、椭圆、双曲线的切线,所以本文只探究抛物线、椭圆、双曲线的另外三种运用几何画板作切线的新方法.本文将数学原理与几何画板操作细节结合起来,作图先明理、操作有步骤,弥补信息技术专任培训讲师忽略数学原理的缺陷,适合于中老年高中数学教师自主研读或集中培训的学案或教案.

用直(曲)线系求函数值域

用直线系或曲线系探求函数值域,构思新颖,能够化繁为简,直观模型清晰,适用范围广泛。下面举例并加以说明。例1 求函数y=(2x^2+3x+3)/(x^2+x+1)(x≥-3/2)的值域。

琴生不等式的类别与运用

琴生（Jensen,1859~1925）在丹麦的纳克斯考出生,跟随做地产经理的父亲在瑞典度过大部分童年时光,17岁考进瑞典的哥本哈根科技学院,没有拿到大学文凭就跟随父母返回了丹麦,随后自学数学,22岁至65岁在电话公司从事技术工作,是一位成功的电讯工程师.琴生利用业余时间钻研数学,其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的＂琴生不等式＂.

用递推数列备考自主招生的计数、二项式、概率统计题

运用递推数列的方法探究重点大学自主招生中有关计数、二项式、概率的问题，对于命题专家来说是个热点，对于考生的解题学习来说这是个难点，但对于中学数学教师的教来说却普遍又是个盲点．本文分3个方面例谈如何用递推数列解答这些问题，期能引导学生在自学中弥补教师或许因时间紧或许因跨单元所造成的教的这一盲点．

对教科书《数学史选讲》中有关三次方程内容的补遗和考究

因为中学生熟知二次方程，而三次方程是二次方程的一个最近发展区，所以笔者仔细研读高中数学实验教科书人教A版《数学史选讲》（以下简称教科书[1]）第7讲第一部分中有关三次方程的内容后，感到有必要进行补遗和考究．